欧拉公式的几何证明与意义

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欧拉公式的几何证明与意义

作者 : 陈彦宇



Part I 指数函数与 e



Part II 复数乘法













到了这里，我们好像发现了一个规律：两复数相乘，结果的幅角为因数幅角相加，模长为因数模长乘积。不过，这是我们观察归纳出的结论，并不严谨，事实上，可以通过三角函数的和差角公式，来严格证明一般情况下这一结论。



这意味着什么？这意味着我们对复数乘法有了一种全新的，强有力的理解方式，复数乘法不再是一坨坨晦涩的代数推导，而是被赋予了鲜明的几何意义。

有了复数乘法的几何意义后，我们终于可以直面欧拉公式了。







有人可能会觉得这样证明不严谨，每个三角形的增量是无穷小，可以看作扇形，但无穷个三角形就不一定了。1加无穷小为1，但1+无穷小的无穷次方就不一定了。严格来说，这是一个 1 的无穷次方的未定式。但实际上可以证明，每个三角形带来的模长增量是 1/n 的高阶无穷小，因此连乘 n 次的极限结果还是 1 。受篇幅限制，我就不展开了，有兴趣的可以参考高数课本。

言归正传，我们的任务是：确定这个扇形的终点在哪里？确定了终点在复平面上的位置，我们也就确定了原来连乘积的极限，进而也就确定了 e^(iπ) 的结果。看上去 -1 是一个非常显然的结果，但我们希望能得出一个更加具体的解释。实际上这并不难，回到 n = 1 的情况。



数学中有一句话：当一个公式出现时，你一定要去问自己，那个圆在哪里？

当我们谈论欧拉公式时，千万不要认为欧拉公式是变了什么戏法，在实轴上把 e 变成了 -1 ；恰恰相反，欧拉公式的奥妙在复平面上，它借助极限与单位圆的力量，在实轴上方进行升维打击，绕了一大圈后才来到了 -1 ，如果只有实轴，是不可能完成这一任务的。换句话说，欧拉公式的那个圆，在复平面上。











你以为故事到这就结束了吗？不，才刚刚开始。欧拉公式与圆有着千丝万缕的关系，许多科学领域用它来表示旋转。在 θ 中插入 ωt ，我们就有了一个随时间 t 增长的圆心角，这，就是旋转，一种可以被数学语言描述的旋转。在力学与电学中，科学家用它来表示振荡；在光学中，物理学家用它来表示电磁波的相位；甚至在傅里叶变换和量子力学中也因此有了欧拉公式的身影。可以说，欧拉公式已经成为理工科不可替代的一块基石，在机械、光学、电力、原子物理等领域有着重要的作应用，并进而影响着我们生活的方方面面。