事件是否独立于你是否获得“预测的有用信息”有关么？

wufaxian

例子出自张景肖概率论导论P45。关于“条件独立不意味着独立”我是理解和认可的，但是这个例子让我对什么是“独立”产生了疑问。下划线部分说的是事实，但是是否有助于预测能成为判断是否“独立”的依据么？投硬币这个经典问题中是否独立是指前n次投掷的结果是否会影响第n+1次投掷结果。结论当然是不会！这跟你预测或不预测没有关系。诚然，你知道硬币均匀或不均匀确实会有助于预测。但是独立与否应该与“ 有助于预测”无关吧？




例2. 5. 9 ( 条件独立不意 味着 独立） 再一次回到例2. 3. 7(书中p39下方）中的问题， 假设我们抽中的是 一 枚均匀的硬币或 一 枚正面朝上的概率为 3 / 4 的不均匀硬币， 但不知道抽到的是哪 一 枚。 多次投掷硬币。 如果给定选取的硬币是均匀的这 一 条件， 则硬币的投掷是独立的， 则每次正 面朝上的概率为1/2。 类似地， 给定选取的硬币是不均匀的， 则每次投掷相互独立 ， 每次正 面朝上的概率为3 / 4 。

然而， 硬币投掷却不是无条件独立的， 因为如果不知道选择的是哪 一 枚硬币， 那么观察到投掷结果的序列会提供硬币均匀与否的信息， 这将有助于预测下一次同一枚硬币投掷的结果。

令事件F为表示选取的硬币是均匀的，令 A1和A2事件分别表示第 一 次和第二次投掷硬币正面朝上。 给定F为条件， A1 和 A2 是 相 互独立的， 但是 A 1 和 A2并不是无条件独立的， 因为A1会提供关于A2的信息。