数学教育与数学文化（续）

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数学教育与数学文化（续）

作者 | 张顺燕（北京大学数学科学学院）

来源 | 本文原载于《数学通报》，2005 年第 44 卷第 2 期。

4 数学与人类文明

4.1 数学与西方宗教

从古希腊起，数学成为人类三种信仰的基石。

首先，宇宙的根本规律在数学。用毕达哥拉斯的话，就是万物皆数也。

其次，世界上存在严格的真理，它们是理性的产物，是严密逻辑的结果，它们放之四海而皆准。勾股定理已经两千多年了，它依然如新。但是其他学科如物理、化学、生物等，它们的结论经常处于被推翻的危险之中。世界上存在永恒的东西。数学的对象，例如数，必然是永恒的，不在时间之内。事实上，古人对数“2”的理解与今人的理解没有什么差异。

第三，存在一个超感觉的可知的世界。几何学讨论的严格的圆在现实世界上是不存在的。不管我们多么谨慎地使用圆规，画出的圆总有一些不完备和不规则的地方。这就告诉我们，一切严格的推理都只能应用于与可感觉的对象相对立的思想的对象。当数学家证明一个三角形的命题时，它所涉及的不是正在谈论的画在某个地方的图形，而是在他心目中才能见到的东西。我们再进一步想一想就会承认，思想比感官更高贵，思想的对象比感官知觉的对象更真实。因为感觉的对象是易变的，不完备的，而思想的对象是永恒的。

对数学的这种信仰深深地影响了后来的西方哲学与神学。自从毕达哥拉斯之后，特别是柏拉图之后，理性主义的宗教一直被数学和数学方法支配着。例如，在西方基督徒认为基督就是道，神学家追求上帝存在和灵魂不朽的逻辑证明皆源于此。柏拉图相信有两个世界：

一个看得见的世界，一个感觉的世界，一个“见解”的世界；

一个智慧的世界，一个感觉之外的世界，一个“真知”的世界。

柏拉图在他的《蒂迈欧》一书中对创世的解释——通过复制理想的数学模型造出我们的宇宙。由此引出了早期基督思想中的创世说。在犹太教义和伊斯兰教义中也可以找到受柏拉图影响的高度数学化的宇宙论。柏拉图的观点还被犹太教、基督教和伊斯兰教的哲学家们用来探明神明和灵魂如何与物质世界相互作用。

柏拉图这种理念论也深深地影响了西方的文学。法国著名作家雨果在《克伦威尔》序言中说，生命有两种，一种是暂时的，一种是不朽的，一种是尘世的，一种是天国的。……就像两条曲线的公切点。

著名文艺理论家泰纳在《英国文学史》序言中说：“当你用你的眼睛去观察一个看得见的人的时候，你在寻找什么呢？你是在寻找那个看不见的人。你所听到的谈话，你所看见的各种行动和事实，例如他的姿势、他的头部的转动、他所穿的衣服，都只是一些外表；在它们的下面还出现某种东西，…一个隐藏在外部人的下面的内部的人。”

4.2 欧几里得几何的影响

欧几里得几何是推理的典范，其特点是，以简驭繁，以少胜多。这本书成为后人模仿的样板。我们来举几个典型的例子。

阿基米德不是通过用重物作实验，而是按欧几里得的方式，从“相等的重物在离支点相等距离处处于平衡”这一公设出发证明了杠杆定律。

牛顿称著名的三定律为“公理或运动定律”。从三定律和万有引力定律出发，建立了他的力学体系。他的“自然哲学的数学原理”具有欧几里得式的结构。

世界上第一个为人口学建立科学理论的是英国的马尔萨斯（Malthus 1766-1834）。他的理论对世界各国的人口政策产生了重大影响。马尔萨斯的《人口论》在方法上是地地道道欧几里得式的，他从公理出发研究了人口发展的规律。在该书的开篇，他写道：

我认为可以提出两个假设（照例论证以公理作为出发点）：第一，食物是人类生存所必须的；第二，性爱也是人类生存所必须的，并且它将保持现存的状况…

他接着从对人口增长和食品供求增长的分析中建立了他的数学模型。这个模型简洁，有说服力，对各国的人口政策有巨大影响。

令人惊奇的是，欧几里得的模型还推广到了政治学。美国的“独立宣言”是一个著名的例子。独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的。美国第三任总统杰斐逊（1743-1826）是这个宣言的主要起草人。他试图借助欧几里得的模型使人们对宣言的公正性和合理性深信不疑。“我们认为这些真理是不证自明的……”不仅所有的直角都相等，而且“所有的人生来都平等”。这些自明的真理包括，如果任何一届政府不服从这些先决条件，那么“人民就有权更换或废除它”。宣言主要部分的开头讲，英国国王乔治的政府没有满足上述条件。“因此，…我们宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权利应该是，自由的和独立的国家。”我们顺便指出，杰斐逊爱好文学、数学、自然科学和建筑艺术。

相对论的诞生是另一个光辉的例子。相对论的公理只有两条：1)相对性原理，任何自然定律对于一切直线运动的观测系统都有相同的形式；2)光速不变原理，对于一切惯性系，光在真空中都以确定的速度传播。爱因斯坦就是在这两条公理的基础上建立了他的相对论。

4.3 数学与音乐

4.3.1 音律的基本术语

先引进一些基本概念。在音乐中有固定音高的音的总和叫乐音体系。乐音体系中的音，按照音高次序排列起来叫音列。在钢琴上可以明显地看出在乐音体系中使用的音和音列。钢琴上有 88 个音高不同的音，有些音在音乐中几乎不用，乐音体系中的各音叫作音级。音级中有基本音级和变化音级两种。

乐音体系中有七个独立名称的音级称为基本音级。这七个基本音级分别用英文字母 C，D，E，F，G，A，B 来标记，叫做音名，它表示一定的音高，在钢琴键盘上的位置是不动的。这七个音名在唱歌时依次用 do，re，mi，fa，sol，la，si 来发音，称为唱名。如果表示不同的八度还有小字一组 C1→B1，小字二组 C2→B2 等。正对着钢琴钥匙孔的中间一组音的音名是小字一组 C1→B1 。

两音之间的音高上的相互关系叫音程。七个基本音级在音列中是循环重复的，第一级音与第八级音的音名相同，但音的高度不同，构成了八度关系。这里的度指的是，琴键间的间距。例如把 C 当作起点，G 就是五度音。

4.3.2 古希腊音律的确定

在西方，从毕达哥拉斯时代开始，人们就认为，对音乐的研究本质上是数学的，这个思想对后来有深远的影响。莱布尼兹指出：“音乐就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的。”法国音乐理论家、作曲家拉莫（J. P. RaMeau 1683-1764）说：“音乐是一种必须掌握一定规律的科学，这些规律必须从明确的原则出发，这个原则没有数学的帮助就不可能进行研究。我必须承认，虽然在我相当长时期的实践活动中，我获得许多经验，但是只有数学能帮助我发展我的思想，照亮我甚至没有发觉原来是黑暗的地方。”

音乐必须有美的音调，美的音调必然是和谐的，希腊人发现，最和谐的音调是由比 1：2：3：4 确定的。中世纪美学家奥古斯丁说过：“1，2，3，4 这四个最小的数是音乐上最美的数。”为什么会是这样呢？看了毕达哥拉斯的生律法，就清楚了。

我们知道，振动物体对周围的空气发生作用，产生声波，声波沿各个方向传播出去，传到我们的耳朵，为我们所接受。但大部分声音，像说话，或鸟叫不是乐音。乐音通常是由弦的振动引起的，如小提琴，大提琴，吉他，钢琴等，或是由空气柱的振动引起的，如管风琴，小号，长笛等。

描述乐音的一个最基本的量是音高。什么是音高呢？这个问题看来简单，其实不简单。人类花了许多个世纪才对音高有了精确的理解。这要归功于伽里略和法国数学家兼宗教家梅森（Mersenne Masin 1588-1648）。为了说明音高，需要引进频率的概念。

频率指的是，物体在单位时间内振动的次数。通常，将单位时间取为秒，物体每秒振动多少次叫多少赫兹或多少赫。

例如，如果一紧绷弦每秒振动 100 次，就说它的频率是 100 赫兹。

毕达哥拉斯连续使用比 2：3 找出了从 C 到 C1 的各个音。他是如何做的呢？他将两条质料相同的弦水平放置，使它们绷紧，并保持相同的张力。假定一根弦的长度为 1 ，另一根弦的长度为前者的 2/3 ，然后使两条弦同时发音，若前者发的音是 C ，则后者发的音是比前者高五度的音一 G ，再取后者长度的2/3 ，就得到比 G 高 5 度的音。把新弦长放大一倍，就得到 D 。把这个步骤继续下去；就可定出所有的音。这种定音的方法叫五度相生法。

五度相生法用 3：2 的频率关系生成音列，其频率比的公式是



下面的表是用五度相生法生成的（大调式）七音阶表。



从上面的表可以看出，如果以一个音阶的频率当作音阶的主音，按 1：2：3：4 的规律就会得到一个音阶中最和谐的几个音。从 1：2 得到八度音，2:3 得到五度音，3：4 得到四度音。由于它们比例最简单，所以产生的共同谐波就多，听起来很和谐。谁都知道八度音是最和谐的，似乎可以把它们融合在一起。在人类有音乐的初期，人们就会使用这个音，它也是复音音乐的起点。当一个小孩和一个成人同唱一首歌时，或一个男声和一个女声同唱一首歌时，就自然形成了八度平行。

注：1. 哲学意义：“万物皆数也”的思想起源之一。
        2. 数学意义：音律的确定需要指数函数。

4.3.3 简谐振动

音叉的振动。傅里叶如何使音乐乐声的数学分析成为可能呢？我们先来看看最简单的乐器一音叉是如何发声，如何传播，又如何用数学公式描述它的。

用小锤击音叉的一边，音叉就振动起来，并发出声音。当音叉第一次运动到右边时，它就撞击阻碍它向右运动的空气分子，使那些分子间的密度加大。这种现象称为压缩。压缩的空气继续向右移动，直到不拥挤的地方，这一过程将反复重复，于是，向右的压缩将会一直继续下去（图 3）。



接着音叉又向左运动。这样，就在音叉原来的位置留下一个比较大的地方，右边的空气分子就向这里涌过来。于是在这些空气分子先前的位置上造成了一个稀薄的空间。这种现象称为舒张。

事实上，音叉的每一次振动在所有的方向上都产生压缩和舒张，这就是声波。声波把空气进行局部的压缩和舒张，使空气周期性的变疏和变密。这种声波传到人的耳朵里，对耳膜产生作用，我们就听到了声音。

现在的问题是，这种声音能不能用一个数学公式表示出来？如果能，那是什么样的公式呢？

简谐振动。音叉的振动是最简单的周期振动。与它同样简单的周期振动还有单摆的振动，弹簧的振动。它们的共同特点是，在相等的时间间隔里重复自己的运动。这类振动称之为简谐振动。描述这类周期振动的公式具有同一形式。为直观计，我们取弹簧的周期振动作模型。

顺便指出，对简谐振动的研究不仅为乐声的描述提供了工具，它首先导致了精确记时钟的发明。通过实验，R.胡克掌握了弹簧振动的基本规律，发现了弹性力学定律。16 世纪 50 年代，他试着用金属弹簧来调整钟的频率。但是，第一个用弹簧控制的时钟却是丹麦物理学家 C.惠更斯建造的。惠更斯的办法是使用盘旋的弹簧；这种办法至今仍在机械手表里使用。

4.3.4 弹簧的振动

考虑一个被压缩和拉长的弹簧，并取平衡位置为坐标原点(图 4)。根据胡克定律，作用力 F 与弹簧的压缩或伸长量 x 成正比：

              F = -kx    (1)



x 的值对伸长为正，对压缩为负。常数 k 叫弹簧常数，是弹簧劲度的度量，弹簧越硬，k 的值就越大。再设连在弹簧上的物体 M 的质量为 m 。这个系统的特点是，当物体 M 受扰动离开平衡位置后，在弹力的作用下，系统趋于回到平衡位置。但由于惯性的作用，M 会超越平衡点继续运动。M 超越平衡点后，弹力再次作用使之回到平衡点。结果，系统就来回振动起来，与音叉的振动一样。物体 M 的水平位置 x 是时间 t 的函数：x=x(t) 。x(t) 的变化规律是什么呢？我们来作一些数学分析。



例 4 如果受音叉的作用，理想空气分子运动的振幅是 0.001 ，频率是 200 赫兹，那么圆频率是 200π ，从而音叉声音的公式是

        y = 0.001 sin400πt

下面给出几个名词的解释。

公式(3)中的 A 叫振幅。它表示弹簧振动的幅度。完成一次振动的时间叫周期，记为 T 。例如，若振动一次需 0.5 秒，则 T=0.5 秒。若振动一次需 4 秒，则 T=4 秒。

f 叫频率，它是做简谐振动的物体每秒钟振动的次数。前面已经指出，频率的单位是赫兹；每秒振动 1 次叫 1 赫兹。频率和周期互为倒数：

     T = 1/f 。

例如，若振动一次需 0.5 秒，即 T=0.5 秒，则频率 f=2 赫兹，即每秒振动 2 次。

ω 叫圆频率，也叫角速率；角速率是做圆周运动的物体在单位时间内通过的角度（以弧度为单位）。而角频率则与做简谐运动的物体每秒振动的次数 f 密切相关。关系是这样的：做圆周运动的物体在回到出发点时通过了 2π 弧度，由于 2π 弧度对应于一个周期，所以

      f = ω/(2π) 。

4.3.5 傅里叶的定理

长笛、单簧管、小提琴、钢琴发出的声音各不相同，怎样从数学上给以说明呢？观察各种声音的图形，可以得到问题的部分答案。所有声音的图形，人的声音也包括在内，都表现出某种规律性。这种规律性是，每一种声音的图形在1秒钟内都准确地重复若干次。图 5 是一个例子，即小提琴的声音的图形，它表现出重复现象，这种声音听来是悦耳的。相反地，噪音具有高度的不规则性。所有具有图形上的规则性或具有周期性的声音称为乐音，不管这些声音是如何产生的。这样，通过图形我们把乐音和噪音区分开了。

傅里叶的定理说，任何一个周期函数 f(t) 都可以表示为形如(3)的正弦函数之和，而且正弦函数的各项的圆频率是其中圆频率最低一项的圆频率的倍数。如果最低一项的圆频率是 ω ，那么其它项的圆频率是 2ω,3ω,… 。写成数学公式是



其中 a 是常数。这个级数叫傅里叶级数。

一个周期函数可以表示成正弦函数的和是令人惊讶的。

我们知道，任何乐音都是周期函数，因此，任何乐音都可以表示为简单的正弦函数之和。

例 5 小提琴奏出的乐声如图 5 所示。它的公式基本上是

   f(t) ≈ 0.06sin1000πt + 0.02sin2000πt + 0.01sin3000πt 。



傅氏定理的意义是什么呢？它指出，任何乐声都是形如 Asin(ωt+φ) 之各项之和，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音，例如由音叉发出的声音。因此，这个定理表明，每一种声音，不管它多么复杂，都是一些简单声音的组合。乐音的复合特征可以通过试验得到证实。例 5 的小提琴的声音可以由三个具有适当音量，频率分别是 500 赫兹、1000 赫兹和 1500 赫兹的音叉同时发声而产生。因此，从理论上讲，完全可以由音叉来演奏贝多芬的第九交响曲。

这是傅氏定理的一个令人惊奇的应用！

这样，任何复杂的乐音都能由简单声音经适当组合而成。单音称为声音中的泛音。在这些泛音中，频率最低的一个称为基音。频率次高的一个称为第二泛音，它的频率是基频的二倍，接着是第三泛音，它的频率是基频的三倍，等等。

乐音与噪音的主要区别是，乐音的声波随时间呈周期变化，噪音则不是。乐音有固定的频率，听起来使人产生有固定音高的感觉，和谐的感觉。噪音听起来不和谐、不悦耳，缺乏固定音高的感觉。将复合音分解为泛音可以帮助我们用数学方法描述乐音的主要特征。

乐音有四个要素：音调或音高、音色或音质、音响或音量、时值。

当我们说一个声音是高还是低时指的是它的音调。钢琴的声音按照键盘从左到右的顺序从低音上升到高音。音调主要是由振动频率决定的，也就是由 ω 或 T 决定的，但它不是严格按比例对应的。一般认为，频率增高到 2 倍，音调听起来高一个八度。这仅仅在中频段里是这样。在高音部分，听感偏低。所以要把频率调高，以适应人的耳朵。低音段则听感偏高，所以需要把频率调低一些。对一个复合音而言，它的音高由基频的频率决定的。在前面的小提琴的例子中，这些泛音对应的频率分别是 500 赫兹，1000 赫兹，1500 赫兹。这意味着，当基音的图形完成一个周期时，第二个泛音的图形将完成两个周期，第三个泛音将完成三个周期。因此，当且仅当基音经过了 1/500 秒后，复合图形重复一次，空气分子又将循环运动。所以，复合音的音高由基音决定。

音的响度或音量与声波振幅的平方成正比，振幅越大，听起来响度就越大。但这两者也不是按比例对应的。

公式中的初相位 φ ，人的耳朵一般觉察不出来。一个声音的音色是使它与另外具有相同的音高和音量的声音区别开来的性质。一名小提琴师和一名笛手演奏出相同音调和音量的歌曲时，我们很容易将它们区分开来。乐音的音色影响图形的形状。不同的乐器所发出的声音的图形具有相同的周期和振幅，但形状不同。

乐音图形的形状，部分地依赖于泛音，部分地依赖于泛音的相对强度。有些乐器第二泛音的振幅可能很小，它对整个图形影响不大。例如，在长笛的高音中，除了基音外，所有的泛音都很弱。

时值指振动的延续时间。

现在我们已经知道了，不仅一般乐音的本质，而且它们的结构和主要性质都具有数学上的特征。

欧几里得以五条公理总结了整个欧氏几何，不管多么复杂的几何定理都可以从这五条公理中推导出来。牛顿给出了三定律，对整个力学作了本质上的概括。这些功绩都是开天辟地之功。傅里叶的定理具有同样的地位。自从有了傅里叶定理，世界上的声音一下子变得简单了，都可以归结为简单声音的组合，这些简单声音用数学表示就是正弦函数。人们终于认识到，世界上的声音是如此丰富，却又如此简单！

4.3.6 大自然的统一性

大自然充满了神奇的统一性。不仅声音可以用正弦函数来描述，电流也可以用正弦函数来描述。事实上，电流与时间的关系是

     I = Asinωt

这与音叉的振动具有相同的形式。正是这种统一性使声音可以转变为电流。这就使声音的录制、传播、接收和复原成为可能。这样，你可以在元旦晚上坐在电视机旁欣赏维也纳的新年音乐会。你可以在散步时通过随身听接收中央台的音乐节目。你可以使用手机和你的朋友通话。但是，很少人想到傅里叶的贡献，想到数学的作用——数学是一种看不见的文化。考查一下对人类生活的实际影响，我们会发现，傅里叶的影响超过了牛顿。

参考文献

张顺燕.数学的美与理.北京：北京大学出版社.