已知α^2+b^2=c^2，求(α^3+x)+(b^3+y)=c^3的正整数解

朱明君

巳知α^2+b^2=c^2，求(α^3+x)+(b^3+y)=c^3的正整数解，

天山草

例如，当 m=2,  n=1  时有以下解：

天山草

m=2,  n=1  时，a = 2 m n = 4;  b = m^2 - n^2 = 3;  c = m^2 + n^2 = 5;
若 x = 1,  y = 33 ，则  (a^3 + x) + (b^3 + y) = 4^3 + 1 + 3^3 + 33 = 125 = 5^3 = c^3。
若 x = 2,  y = 32 ，则  (a^3 + x) + (b^3 + y) = 4^3 + 2 + 3^3 + 32 = 125 = 5^3 = c^3。
.................................................
若 x = 16,  y = 18 ，则  (a^3 + x) + (b^3 + y) = 4^3 + 16 + 3^3 + 18 = 125 = 5^3 = c^3。
.................................................
若 x = 33,  y = 1 ，  则  (a^3 + x) + (b^3 + y) = 4^3 + 33 + 3^3 + 1 = 125 = 5^3 = c^3。

因此当 m=2,  n=1  时，原方程的解不止  x = 16,  y = 18 这一组。

王守恩

\(巳知c^2=α^2+b^2， 则\)
\(c^3=a^2*c+b^2*c\)
\(=a^2*(a+c-a)+b^2*(b+c-b)\)
\(=a^3+a^2(c-a)+b^3+b^2(c-b)\)
\(=a^3+x+b^3+y\)
\(即:x=a^2(c-a)\ \ \ y=b^2(c-b)\)

天山草

举一个特例，a=3,  b=4,  c=5, 则有：

朱明君

根据题意
我和王守恩老师的解法是
设a^2 (c-α)=x，b^2 (c-b)=y，其中α，b，c，x，y均为正整数，且α﹤b﹤c，
则(α^3+x)+(b^3+y)=c^3，

天山草老师的解法是
设c^3-α^3-b^3=x+y，其中α，b，c，x，y均为正整数，且α﹤b﹤c，
则α^3+b^3+x+y=c^3


天山草老师的解法不付合题意，

朱明君

，，，，，

太阳

\(整数c＞2，试证:方程a^cd^c+b^cd^c-k^c＝0，没有正整数解\)

太阳

\(整数c＞2，试证:方程a^cd^c+b^cd^c-k^c＝0，没有正整数解\)
费马定理渐接化简，解决此题证明费马定理

太阳

\(费马定理x^n+y^n＝z^n，n＞2，没有正整数解\)
\(费马定理渐接化简，证明命题难度能减少一点吗？\)
\(整数c＞2，试证:方程a^cd^c+b^cd^c-k^c＝0，没有正整数解\)