\(2^p－1的质因数\)

太阳

太阳

\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，m＞0，v＞0，k＞0，k＞d，k＞f，2^p-1＝aty\)
\(t是2^p-1的最小质因数，\frac{y-1}{t-1}＝c\frac{d}{k}，\frac{a-1}{t-1}＝m\frac{f}{k}，\frac{ay-1}{t-1}＝v，质数k＞0，p＞0，y＞0\)
\(求证:a必定是质数\)

liugongqin

太阳 发表于 2022-10-11 05:51
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，m＞0，v＞0，k＞0，k＞d，k＞f，2^p-1＝aty\)
\(t是2^p-1的最小质因 ...

请问：什么是质因数？质因数的命题是否符合数学规律？

yangchuanju

太阳 发表于 2022-10-11 05:51
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，m＞0，v＞0，k＞0，k＞d，k＞f，2^p-1＝aty\)
\(t是2^p-1的最小质因 ...

素数  2^p-1  2^p-1   分解式
2        3        3        素数
3        7        7        素数
5        31        31        素数
7        127        127        素数
11        2047        2047        23*89
13        8191        8191        素数
17        131071        131071        素数
19        524287        524287        素数
23        8388607        8388607        47*178481
29        536870911        536870911        233*1103*2089
31        2147483647        2147483647        素数
37        1.37439E+11        137438953471         223*616318177
41        2.19902E+12        2199023255551         13367*164511353
43        8.79609E+12        8796093022207         431*9719*2099863
47        1.40737E+14        140737488355327         2351*4513*13264529
53        9.0072E+15        9007199254740991        6361*69431*20394401
59        5.76461E+17        576460752303423487        179951*3203431780337
61        2.30584E+18        2305843009213693951        素数
67        1.47574E+20        147573952589676412927        193707721*761838257287
71        2.36118E+21        2361183241434822606847        228479*48544121*212885833
73        9.44473E+21        9444732965739290427391        439*2298041*9361973132609
79        6.04463E+23        604462909807314587353087        2687*202029703*1113491139767
83        9.67141E+24        9671406556917033397649407        167*57912614113275649087721
89        6.1897E+26        618970019642690137449562111        素数
97        1.58456E+29        158456325028528675187087900671        11447*13842607235828485645766393
101        2.5353E+30        2535301200456458802993406410751        7432339208719<13>*341117531003194129<18>
103        1.01412E+31        10141204801825835211973625643007          2550183799<10>*3976656429941438590393<22>
107        1.62259E+32        162259276829213363391578010288127        素数
109        6.49037E+32        649037107316853453566312041152511        745988807*870035986098720987332873<24>
113        1.03846E+34        10384593717069655257060992658440191        3391*23279*65993*1868569*1066818132868207<16>
127        1.70141E+38        170141183460469231731687303715884105727        素数
131        2.72226E+39        263*10350794431055162386718619237468234569<38>       
137        1.74225E+41        32032215596496435569<20>*5439042183600204290159<22>       
139        6.96898E+41        5625767248687<13>*123876132205208335762278423601<30>       
149        7.13624E+44        86656268566282183151<20>*8235109336690846723986161<25>       
151        2.8545E+45        18121*55871*165799*2332951*7289088383388253664437433<25>       
157        1.82688E+47        852133201*60726444167<11>*1654058017289<13>*2134387368610417<16>       
163        1.1692E+49        150287*704161*110211473*27669118297<11>*36230454570129675721<20>       
167        1.87072E+50        2349023*79638304766856507377778616296087448490695649<44>       
173        1.19726E+52        730753*1505447*70084436712553223<17>*155285743288572277679887<24>       
179        7.66248E+53        359*1433*1489459109360039866456940197095433721664951999121<49>       
181        3.06499E+54        43441*1164193*7648337*7923871097285295625344647665764672671<37>       
191        3.13855E+57        383*7068569257<10>*39940132241<11>*332584516519201<15>*87274497124602996457<20>       
193        1.25542E+58        13821503*61654440233248340616559<23>*14732265321145317331353282383<29>       
197        2.00867E+59        7487*26828803997912886929710867041891989490486893845712448833<56>       
199        8.03469E+59        164504919713<12>*4884164093883941177660049098586324302977543600799<49>       

yangchuanju

已提供200以内全部梅森数的分解式，太阳先生如需更多梅森数分解式可另行再提供。
请太阳先生以p=113和p=151为例（各含5个素因子），分析它们的各个素因子之间的关系。

liugongqin

我只知道素数是只能被自身和1整除的数。

太阳

此命题是错误

yangchuanju

梅森数各个素因子和复合因子之间的关系

除2^2-1=3以外，所有的梅森数2^p-1都是2kp+1型的整数：
2^3-1=7=2*1*3+1,k=1;
2^5-1=31=2*3*5+1,k=3;
2^7-1=127=2*9*7+1,k=9;
2^11-1=2047=2*93*11+1,k=93;……

梅森数的素因子都是2kp+1型的整数：
2^11-1=2047=23*89,23=2*1*11+1,k=1;89=2*4*11+1,k=4;
2^23-1=8388607=47*178481,47=2*1*23+1,k=1;178481=2*3880*23+1,k=3880;
2^29-1=536870911=233*1103*2089,233=2*4*29+1,k=4;1103=2*19*29+1,k=19;2089=2*36*29+1,k=36;……

梅森数的复合因子也是2kp+1型的整数：
2^29-1=536870911=233*1103*2089,233*1103=256999=2*4431*29+1,k=4431;
233*2089=486737=2*8392*29+1,k=8392;1103*2089=2304167=2*39727*29+1,k=39727。
2^43-1=8796093022207=431*9719*2098863,最小素因子431之k=5，其它素因子和复合因子之k分别等于113,24417,48708,10523732,237308936，都是整数。

yangchuanju

多因子梅森数的各个素因子的k或复合因子的k之间一般不能整除，但也有些能整除：
梅森数2^11-1、2^23-1之小素因子对应的k等于1，大素因子的k肯定能整除小因子的k；
梅森数2^29-1的3个素因子对应的k分别等于4、19、36，36可以整除4，但19不能整除4，36也不能整除19。
太阳先生的命题2^p-1=aty，t是最小素因子，y是另一素因子，如果(y-1)/(t-1)和(a-1)/(t-1)不能整除，但(ay-1)/(t-1)能够整除，
稍加转换就是各个素因子和复合因子的k之间能不能整除的问题，太阳先生断定a必为素数无道理。
例如梅森数2^29-1之t=233，y=1103，a=2089，ay=2304167，对应的k分别等于4、19、36、39727，19不能整除4，到36能够整除4，而39727又不能整除4。
2^43-1=8796093022207=431*9719*2098863,最小素因子431之k=5，其它素因子和复合因子之k均不是5的倍数，都不能整除。
2^113-1=2535301200456458802993406410751=3391*23279*65993*1868569*1066818132868207<16>，含5个素因子；
最小素因子之k=15，其它4素因子的k分别等于103,292,8268,434216321，都不是15的倍数，都不能整除；
23,24,34复合因子之k分别等于6797571,192470875,545630416，
其中24复合因子之k是15的倍数，24复合因子减1能被3391减1整除，其余均不能整除，太阳先生能断定谁是素数，谁不是素数吗？

太阳先生已经对梅森素数合其它素数进行了深入地研究，并归纳出不少规律性东西，是应该好好总结一下的。
这不太阳先生在数月没有发帖之后，于10月10日郑重其事地连续发布三博贴，共十几个命题，
但在网友提出质疑后仅回复“不符合题意”、“此命题是错误”就草草收场实在不应该。

太阳

\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，k＞0，v＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(\frac{2^p-1}{m}＝ty，m是2^p-1的最小质因数，\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}\)
\(\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，\frac{ty-1}{m-1}＝v，质数k＞0，p＞0，t＞0\)
\(求证:y必定是质数\)