在 ΔABC 中，已知 ∠ABC=90°，AE,CD 是角平分线，AD=2，CE=3，求 AC

王守恩

三角形ABC,∠ABC=90,AE,CD是角平分线,AD=2,CE=3,求AC。

三角函数解题:AC=2cot(a)=3cot(45-a)=6。其中:a=∠CAE

高纬度数学对低纬度数学会是碾压式的降维打击！

天山草

AC=6

天山草

所以，AC = 6=3 cot(a) =2 cot(45°-a) , 其中 a =∠CAE

上面这个关系是如何直接看出来的？

luyuanhong

楼上 天山草 的解答很好！已收藏。

王守恩

天山草 发表于 2022-10-17 19:25
所以，AC = 6=3 cot(a) =2 cot(45°-a) , 其中 a =∠CAE

上面这个关系是如何直接看出来的？

谢谢 天山草！有你这个图，上面这个关系很容易就看出来了。

a=∠CAE=∠BAE，45-a=∠ACD=∠BCD

在三角形ACE中，AC/cos(a)=3/sin(a)

在三角形ACD中，AC/cos(45-a)=2/sin(45-a)

天山草

楼上的正弦定理解法，更详细一点的写法如下：

王守恩

天山草 发表于 2022-10-18 17:13
楼上的正弦定理解法，更详细一点的写法如下：

谢谢 天山草！有你这个图，下面这个关系也是很容易就看出来的。

\(CD是∠C的平分线,\ \ \frac{AC}{BC}=\frac{2}{AB-2}\ \ \ \ (1)\)

\(AE是∠A的平分线,\ \ \frac{AC}{AB}=\frac{3}{BC-3}\ \ \ \ (2)\)

\(勾股定理,\ \ AC=\sqrt{AB^2+BC^2}\ \ \ \ (3)\)

\(综合(1),(2),(3),AC=\frac{2*BC}{AB-2}=\frac{3*AB}{BC-3}=\sqrt{AB^2+BC^2}=6\)

王守恩

往前走！

(1),三角形ABC,∠ABC=90,AE,CD是角平分线,AD=2,CE=3,求CD,AE。

(2),三角形ABC,∠ABC=60,AE,CD是角平分线,AD=2,CE=3,求AC,CD,AE,AB,BC。

(3),三角形ABC,∠ABC= a ,AE,CD是角平分线,AD=2,CE=3,求AC,CD,AE,AB,BC。

kanyikan

一般地，
在直角三角形中，两个锐角的平分线分直角边，离直角较远的线段长分别为m和n，
则该直角三角形的斜边长为方程x^2-(m+n)x-mn=0的正根。

王守恩

\(三角形ABC，CD是角平分线，∠A=2a ,∠B=2b，CA=\sin(2b),CB=\sin(2a)\)

\(CD=\frac{\sin(2a)\sin(2b)}{\cos(a-b)}\)   你不觉得这比一般的角平分线长度公式好吗？