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有限集的势——-证明有问题吧?

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发表于 2022-10-22 04:52 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wufaxian 于 2022-10-22 05:00 编辑

摘自《普林斯顿数学分析读本》p73

定理 8.5 (有限集的势).

设 A 和 B 是有限集,那么当且仅当 A 和 B 具有相同数量的元素时 A ~ B.(~符号是两集合是双射关系)

证明. 对于有限集 A 和 B,我们将证明“当且仅当”的两个方向. 如果 A~B,那么存在一个函数 f,该函数将 A 的每个元素(因为 f 是一 个定义良好的函数)至多映射到 B 的一个元素(因为 f 是单射),并且 B 的每 个元素都被 A 的某个元素映射到(因为 f 是满射).因此,对于 A 的每个元素, B 中都有一个元素与之对应,并且 B 的所有元素都被这种对应关系覆盖,所以 A 和 B 一定具有相同数量的元素.

如果 A 和 B 都包含 n 个元素,那么我们可以将集合记作 A = { a 1 , a 2 , · · · , a n } 和 B = { b 1 · · · , b 2 , , b n }把 f : A → B 定义为 f : a i b i ,其中 1i n.那么 f 是一对一且映上的函数,所以 f 是一个双射.我们找到了一个 A → B 的双 射,所以 A~B.



—-———-上述证明,红色字体是 “由A 和 B 都包含 n 个元素推出A~B”的关键条件,但是这个条件即没有出现在定理中,也并非天然存在,比如f(a1)=f(a2)=b1。并不违反函数定义!那就无法推出A~B了!
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