用素数个数求偶数N以内素数对个数的方法

yangchuanju · 发表于 2022-10-25 08:14

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-10-26 05:29 编辑

按照素数定理Pi(N)=N/ln(N)+O(N)余项，
移项并平方[N/ln(N)]^2=[Pi(N)-O(N)]^2，
两边同除以N：N/ln(N)^2=[Pi(N)-O(N)]^2/N
两边同乘以2c∏(p-1)/(p-2)，p≥3，p|N：
2c∏(p-1)/(p-2)*N/ln(N)^2=2c∏(p-1)/(p-2) *[Pi(N)-O(N)]^2/N
假定N是偶数，则左端就是偶数N的哥德巴赫猜想素数对的哈李对数计算式，右端是N内素数个数减余项之差的平方除以N再乘以2c∏(p-1)/(p-2)。

白新岭曾经给出一个素数对近似计算式：
R2=2c∏(p-1)/(p-2) *[Pi(N)-√Pi(N)]^2/N

对比两个计算公式，白新岭是用偶数N平方根内的素数个数代替素数定理公式中的余项得到的。
经验证当N大于100万时，该计算式值与R2非常接近；
下面的计算数据是将白新岭计算式改为单计素数对的对照表：R1=c∏(p-1)/(p-2) *[Pi(N)-√Pi(N)]^2/N，白新岭计算式可用。式中c=0.660161816，∏(p-1)/(p-2)=4/3=1.333333
n Pi(10^n) Pi(10^(n/2)) R1计算值 R1实际值计算值/实际值
1 4 2 0.352086302 2 0.176043151
2 25 4 3.881751478 6 0.64695858
3 168 11 21.69643814 28 0.774872791
4 1229 25 127.5974841 127 1.0047046
5 9592 65 798.9166422 810 0.986316842
6 78498 168 5400.642014 5402 0.999748614
7 664579 446 38823.90882 38807 1.000435716
8 5761455 1229 292057.3793 291400 1.002255934
9 50847534 3401 2275468.51 2274205 1.000555583
10 455052511 9592 18226104.62 18200488 1.001407469
11 4118054813 27293 149268313.8 149091160 1.001188225
12 37607912018 78498 1244932397 1243722370 1.000972908
13 3.46066E+11 227647 10541569348 10533150855 1.000799238
14 3.20494E+12 664579 90412658381 90350630388 1.000686525
15 2.98446E+13 1951957 7.84007E+11
16 2.79238E+14 5761455 6.8634E+12
17 2.62356E+15 17082666 6.05857E+13
18 2.474E+16 50847534 5.3875E+14
19 2.34058E+17 151876932 4.82209E+15
20 2.22082E+18 455052511 4.34126E+16
21 2.11273E+19 1367199811 3.92894E+17
22 2.01467E+20 4118054813 3.57271E+18
23 1.92532E+21 12431880460 3.26284E+19
24 1.84356E+22 37607912018 2.9916E+20
25 1.76846E+23 1.13984E+11 2.75284E+21
26 1.69925E+24 3.46066E+11 2.54157E+22

cuikun-186 · 发表于 2022-10-25 08:37

哈李对数计算式是有余项的，且余项不可估，这是学界的共识！杨老师，这个问题不能忽视，否则哥猜早已收官了。

yangchuanju · 发表于 2022-10-25 14:44

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-10-26 05:33 编辑

由素数定理公式可导出：2c∏(p-1)/(p-2)*N/ln(N)^2=2c∏(p-1)/(p-2) *[Pi(N)-O(N)]^2/N；
白新岭建议用N平方根内的素数个数代替余项O(N)，用来计算偶数N的素数对（哥猜数）。

经分析，N平方根内的素数个数要小于或远小于素数定理公式的余项O(N)的，不替换前的公式计算值约等于哥猜数真实值的90%多；
替换后由于分子中的负数项变大，分子变大，最终计算值略大于哥猜数真实值；
再或者，将余项舍弃，分子更大一些，计算值要大于哥猜数真实值许多了。

即2c∏(p-1)/(p-2) *Pi(N)^2/N>2c∏(p-1)/(p-2) *[Pi(N)-Pi(N^0.5)]^2/N≈r2(N)
>2c∏(p-1)/(p-2) *[Pi(N)-O(N)]^2/N

（不等式的大小顺序与不等式前的文字叙述顺序刚好相反。）

重生888@ · 发表于 2022-10-25 17:11

yangchuanju 发表于 2022-10-25 14:44
由素数定理公式可导出：2c∏(p-1)/(p-2)*N/ln(N)^2=2c∏(p-1)/(p-2) *^2/N；
白新岭建议用N平方根内的素数 ...

有人对素数平方不甚了解真正含义，套来计算，有何成就？
令S=10000以内的素数个数=1226（2.3.5不在内）
D（10000）=5/6*(S*S/10000)=5/6*150=125（对）实际127对！
由于偶数大了。实际素数个数得不到，只能用素数定理代替，但素数定理在前有误差，必须补偿，F派上用场。根号内素数更不行！

yangchuanju · 发表于 2022-10-25 20:30

用素数定理公式N/LN(N)计算N内素数个数时，它的误差——余项相当大，正整数N=100-10000时“余项/实际值”在10%以上，
随着N的增大，尽管余项绝对值越来越大，但相当误差逐渐缩小，至10的29次方时，（相当误差）余项/实际值缩小到1.7%；
当N趋近于无穷大时，余项绝对值也将趋近于无穷大，但相当误差要趋近于0；即正整数N趋近于无穷大时，其内素数个数趋近于N/LN(N)！
n Pi(10^n) N/LN(N) 余项余项/实际值
1 4 4.342944819 -0.342944819 -0.085736205
2 25 21.7147241 3.285275905 0.131411036
3 168 144.7648273 23.2351727 0.138304599
4 1229 1085.736205 143.2637952 0.116569402
5 9592 8685.889638 906.1103619 0.094465217
6 78498 72382.41365 6115.586349 0.077907543
7 664579 620420.6884 44158.31157 0.066445542
8 5761455 5428681.024 332773.9762 0.05775867
9 50847534 48254942.43 2592591.566 0.050987558
10 455052511 434294481.9 20758029.1 0.045616777
11 4118054813 3948131654 169923159.3 0.041262967
12 37607912018 36191206825 1416705193 0.037670403
13 3.46066E+11 3.34073E+11 11992858452 0.034654877
14 3.20494E+12 3.1021E+12 1.02838E+11 0.032087419
15 2.98446E+13 2.8953E+13 8.91605E+11 0.029874947
16 2.79238E+14 2.71434E+14 7.80429E+12 0.02794849
17 2.62356E+15 2.55467E+15 6.88837E+13 0.026255854
18 2.474E+16 2.41275E+16 6.12483E+14 0.024756839
19 2.34058E+17 2.28576E+17 5.48162E+15 0.023419973
20 2.22082E+18 2.17147E+18 4.93472E+16 0.022220262
21 2.11273E+19 2.06807E+19 4.4658E+17 0.021137605
22 2.01467E+20 1.97407E+20 4.0607E+18 0.020155649
23 1.92532E+21 1.88824E+21 3.70835E+19 0.019260957
24 1.84356E+22 1.80956E+22 3.39996E+20 0.018442381
25 1.76846E+23 1.73718E+23 3.12852E+21 0.017690596
26 1.69925E+24 1.67036E+24 2.88834E+22 0.016997743

yangchuanju · 发表于 2022-10-25 21:22

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-10-26 05:37 编辑

yangchuanju 发表于 2022-10-25 14:44
由素数定理公式可导出：2c∏(p-1)/(p-2)*N/ln(N)^2=2c∏(p-1)/(p-2) *^2/N；
白新岭建议用N平方根内的素数 ...

2c∏(p-1)/(p-2) *Pi(N)^2/N>2c∏(p-1)/(p-2) *[Pi(N)-Pi(N^0.5)]^2/N≈r2(N)>2c∏(p-1)/(p-2) *[Pi(N)-O(N)]^2/N

对不等式第一、三项进行变换一下，2c∏(p-1)/(p-2) *[N/ln(N)+O(N)]^2/N
=2c∏(p-1)/(p-2) *{N/[ln(N)]^2+2/ln(N)*O(N)+[O(N)]^2/N}
>2c∏(p-1)/(p-2) *[Pi(N)-Pi(N^0.5)]^2/N≈r2(N)
>2c∏(p-1)/(p-2) *[Pi(N)-O(N)]^2/N=2c∏(p-1)/(p-2) *N/ln(N)^2
不等式的第一项（第1个大于号前的部分）最大，但如果略去2/ln(N)*O(N)+[O(N)]^2/N两个小项，则计算值分子明显变小，
此时公式变成哈李对数渐进式，也就是不等式的第三项了，公式计算值要小于真实哥猜数了。

独舟星海 · 发表于 2022-10-26 07:11

10^n       →       2生素数数量       →       实际孪生素数       →       公式/实际
8       →       440365       →       440312       →       1.000120369
9       →       3425306       →       3424506       →       1.00023361
10       →       27411416       →       27412679       →       0.999953926
11       →       224368877       →       224376048       →       0.99996804
12       →       1870559991       →       1870585220       →       0.999986513
13       →       15834599375       →       15834664872       →       0.999995864
14       →       135780274095       →       135780321665       →       0.99999965
15       →       1177208571645       →       1177209242304       →       0.99999943
16       →       10304193252876       →       10304195697298       →       0.999999763
17       →       90948839425186       →       90948839353159       →       1.000000001
18       →       808675956302870       →       808675888577435       →       1.000000084
实际孪生素数的数量是从dlpangong的帖子中获得的。
[原创]k生素数群的数量公式
http://www.mathchina.com/bbs/for ... &fromuid=130154
(出处: 数学中国)
发在连接57楼。

独舟星海 · 发表于 2022-10-26 07:14

10^n       →       3生素数数量       →       实际3生素数       →       3生公式/实际
9       →       379794       →       379508       →       1.000753607
10       →       2715284       →       2713347       →       1.000713878
11       →       20089649       →       20093124       →       0.999827055
12       →       152830589       →       152850135       →       0.999872123
13       →       1189763338       →       1189795268       →       0.999973163
14       →       9443892325       →       9443942337       →       0.999994704
15       →       76217795487       →       76222348070       →       0.999940272
上述连接59楼

独舟星海 · 发表于 2022-10-26 07:14

10^n       →       4生素数数量       →       实际4生素数       →       4生公式/实际
9       →       28384       →       28388       →       0.999859095
10       →       181063       →       180529       →       1.002957974
11       →       1209944       →       1209318       →       1.000517647
12       →       8394569       →       8398278       →       0.999558362
13       →       60075450       →       60069713       →       1.000095506
14       →       441290899       →       441296836       →       0.999986546
15       →       3314551625       →       3314576487       →       0.999992499
16       →       25379451643       →       25379433651       →       1.000000709
上述连接60楼

独舟星海 · 发表于 2022-10-26 07:16

从这些比对情况看，积分函数还是比较靠谱的。它们与li（x）函数和π（x）计数函数的关系一样，具有异曲同工的效果。

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