对话李克正教授：为什么学习代数几何？

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对话李克正教授：为什么学习代数几何？

编者按：本文是陈跃老师和吴帆老师一起在多年前对著名代数几何学家李克正教授的采访录，采访的话题是：为什么学习代数几何？本文原载于《高等数学研究》 2009 年 7 月第 12 卷第 4 期。


▲李克正

李克正教授是我国知名的代数几何学家。李克正教授生于 1949 年，1977 年被中国科技大学破格直接从工人录取为研究生，1979 年公派到美国加州大学伯克利分校留学并于 1985 年获得博士学位，1987 年回国，先后在南开大学、中国科学院研究生院和首都师范大学任教，目前是首都师范大学的特聘教授。

李克正教授主要在代数几何与算术几何领域中从事分类与参模空间理论及几何表示理论的研究工作。代表作品是专著 Moduli of Supersingular Abelian Varieties ，此书作为 Lecture Notes in Mathematics 丛书中的第 1680 卷出版。李克正教授还写了《抽象代数基础》、《交换代数与同调代数》和《代数几何初步》等三种本科生与研究生教材。

问：今天对您能在百忙中回答问题表示感谢。请先介绍一下我国早期研究代数几何的情况。

李克正：我国最早研究代数几何应该是从曾炯之开始的，只可惜他在 1940 年 40 岁刚出头就去世了。到了 20 世纪 60 年代，我国主要研究代数几何的人是吴文俊。W. Fulton 在 80 年代写 Intersection Theory 一书时，并不知道吴文俊在中国的工作。吴文俊早在 60 年代就做出了他的最重要的工作，也就是 Wu Class（吴文俊示性类），它在代数几何中是很重要的。由于当时国内特殊的社会状况和中外信息交流不畅，国际上是到了 1990 年代才开始了解和介绍吴文俊的工作。

问：众所周知，代数几何是一门非常难学的学科，它所用到的基础知识非常多。所以我很好奇地想知道以您为代表的一批中国数学家是怎样在 80 年代初期学会代数几何的。当时主要有哪些人？

李克正：我国在 80 年代初出国学习代数几何的人有肖刚（巴黎第 11 大学）、我（伯克利）、罗昭华（Brandeis 大学）、扬劲根（M.I.T.）、陈志杰（巴黎第 11 大学）等，扬劲根的导师是 M. Artin 。在国内的学习的人有胥鸣伟和曾广兴等人，曾广兴是戴执中的学生。

问：听说您在中学十六、七岁就开始学习抽象代数，怎么那么早就对抽象代数感兴趣？

李克正：那当然有原因，就是我杂书念得很多。现在看也没有什么奇怪的。

● 第一，读《数学通报》，那时所有的好学生全念这本杂志，它经常登带有普及性的东西，例如群有什么用处。

● 第二，读普及性的小册子，例如段学复的《对称》。

● 第三，读高等代数课本，知道了线性变换群，这样我的背景知识就很多。

我觉得这是好东西，这正好是我想念的东西，太高兴了，我喜欢这个东西，正好有这个书。而且学校不管我们念什么东西，与现在中学不同，我们有充足的时间。我们那时上课很少，下午 3 点以后绝对在教室里找不到人，全都在操场上，或去图书馆看书。而且当时教改，学生会了可以不上课，到时来考试就行。有时我上课不去，那时候我去图书馆。里面有代数书，但这是教师用书，学生不能借出，但是你可以在图书馆里看，这样学的抽象代数。

问：您是怎样开始学代数几何的？

李克正：1977 年 10 月全国开始恢复招研究生。当时只有两所大学可以招研究生，一个是复旦大学，另一个是中国科技大学，科技大学是一个一个招的，复旦是招了一批。肖刚是 1977 年 10 月先进科大，我稍晚一些在 1977 年 11 月下旬进科大读研究生。这时候我们只知道有抽象代数，根本就不知道还有代数几何这门学科。我们俩人的导师是代数学家曾肯成，我们念 R. Carter 的 Simple Groups of Lie Type ，想在该方向上继续做一些工作。因此就读了 J.E.Humphreys 写的 Linear Algebraic Groups ，开始涉足代数群。在这本书的第一章有一些代数几何的基础知识，这才知道还有代数几何这样一门非常深刻的学科。当时我们想，要么不做研究，要做的话就要做深刻的东西。于是我们俩人开始转向学习代数几何。

问：后来你们怎样去了国外？

李克正：当时正值国家开始向外派遣留学生，我们就有了在国外学习代数几何的机会。导师说，你们两个人不要去同一个地方，一个去欧洲，一个去美国。由于肖刚学语言的能力强，所以他去了法国，我去了美国加州伯克利。肖刚是一个极其聪明的人，他的语言能力极强，他从最初步的法语单词开始学习，两周后就可以听懂法语广播中 70% 的内容！

问：这真让人吃惊。肖刚后来的情况怎样？

李克正：肖刚的导师是 Raynaud ，做的是算术代数几何，但肖刚最后做的是纯粹的代数几何，也就是复代数几何。我们虽然分开了，但是关系很密切，经常通信。肖刚回国后，和陈志杰一起组成了一对黄金组合，在华东师大培养了一大批学生，有谈胜利、孙笑涛、陈猛、翁林、蔡金星等人。肖刚出国交流访问的时候就由陈志杰负责基础性的教育，学生的论文则由肖刚指导把关。所以说肖刚对国内代数几何学的发展影响最大。此外，罗昭华培养的学生有唐忠明等人。唐忠明后来做交换代数，交换代数与代数几何有密切关系。他是我国做交换代数做得最好的。

问：您是哪一年到伯克利学习的？请说说伯克利的学习情况。

李克正：我在 1979 年底来到伯克利。刚进伯克利主要是修课、考试、得学分。这些东西快得很，不需要怎么费力。伯克利的体系跟咱们中国是很不一样的。它进来的学生统统都是博士生，不存在硕士生和博士生的区别。你都可以念博士，但是进来的博士生和出去的博士大概是 3 比 1 ，中间淘汰得非常厉害。它绝对不保你，跟我们这儿没法比。完全看你最后念得好不好。如果不写博士论文但完成通过了前面几道考试关卡，可以申请获得硕士学位。然后，怎么样才能拿到博士呢？中间有很多关卡，每一道关卡都会卡下一些人，到最后 3 个人中淘汰 2 个，它不是一下子就淘汰掉的。其中第一道关卡叫 Preliminary  Examination ，第二道叫 Qualifying Examination 等等，最后一道当然是博士论文。中间还有很多关卡，其中一道是选导师。如果没有导师带你，那你就完了。我们这儿的体系是博导必须要带博士生，不带的话你的博导资格就被取消。他那儿可以多带，也可以不带，这不是导师必要的工作。有的教授 10 年也可以不带研究生，你拿他没辙。唯一的约束就是教课，每个学期每个教授都必须教一门研究生课和一门本科生课。教授凭什么带研究生？那当然凭他喜欢你，他觉得培养这个人有价值，这完全没有任何功利的因素在里面。

问：您的导师是谁？

李克正：我到伯克利是冲着 Hartshorne 去的，但是到了那个地方却没有跟着 Hartshorne ，这个原因主要是个人兴趣不同。那时候 Hartshorne 带着一大伙学生和访问学者在搞向量丛。我不太有兴趣，所以没有选他做导师。A. Ogus 给我上代数几何课，我很有兴趣，就走到 Ogus 的方向上去了，实际上就是算术代数几何。Ogus 做的是代数几何与数论交叉的领域。我跟 Ogus 差不多跟了 5 年。

问：这个 Examination 是不是书面考试？

李克正：我解释一下。Preliminary  Examination 要求你在入学两年内必须完成通过。它的考试内容基本上跟我们的研究生入学考试出的题水平差不多，质量可能比较高一些，这些题后来都收入了《伯克利数学问题集》。这个考试你可以随便什么时候考，所以我入学第一个学期就考，就通过了，考了第一。别人根本就不在乎，只有陈省身先生在乎。因为陈省身先生担保我去，去了以后现在拿出点样子看，这人考第一。我本身的学历是中学，我什么文凭也没有。我国内读的研究生没有毕业。这个成绩拿出来别人没有任何怀疑的地方，这个人当时绝对是招对了。但这个成绩 Ogus 是看都不看的，他看我做的工作。当时在代数几何课上，Ogus 怀疑 Hartshorne 的《代数几何》上有一个习题有问题，让学生解决。大家都做不出来，我说我做出来了，交上去了。交上去之后，一个同学告诉我说：Ogus 怀疑这个题是错的。我仔细查看，发现我做的有一个漏洞，那个漏洞正好就是这个题错的地方。对那个错我举了个反例，然后送上去。Ogus 高兴坏了。从那以后起，我在数学系所有的事情都畅行无阻。它给的任何优惠全部都有我，比方说奖学金呀，推荐美国数学会的会员呀，系主任一个人说了算。

问：您还能想得起来当时做的是一个什么样的题目？

李克正：在《代数几何》现在的英文版本中，Hartshorne 把这道题改了。是第二章第 4 节的 4.12 题。你要知道，Hartshorne 这本书上的习题是非常难做的。它为什么难做呢？它的一个习题基本上就是一篇论文。他是等于把人家已经发表过的论文拿来，然后把论文转换成习题。所以如果你有本事做出这一个习题来的话，实际上你已经也有本事做出那篇论文来了，只不过人家已经发表过了。从你的能力上来说，足够写一篇论文了。

问：那么上课时 Ogus 就用 Hartshorne 的这本书作为教材？

李克正：对。

问：也就是从第一章“代数簇”开始，一章一章往下讲？

李克正：不对。你们要搞清楚，美国教授没有一个是照着一本教科书去讲课的。他会说，这是我讲的书，你就自己去念吧，完了。然后他爱讲什么就讲什么。反正这书的内容他都会讲，但绝对不会照着书去讲。Ogus 讲了一年的代数几何课。我们做的多数的习题是这本书的习题，少数习题是他自己出的。他是从哈佛那边出来的，所以从某种程度上说，他也是 Grothendieck 的弟子，徒孙的一代。他原来都是从读 EGA 出来的（EGA 是 Grothendieck 的《代数几何原理》法文书名的缩写），所以很多东西如果他觉得 EGA 讲得好，他就照 EGA 讲。大概就这样。现在很多人还是主张读 EGA ，比如扶磊主张年轻人还是应该读 EGA ，不应该念 Hartshorne 的书。各有各的主张。EGA 有 EGA 的好处，但是 EGA 没有习题。要说习题，没有一本书比 Hartshorne 的书好，那真是厉害。你看他的习题，基本上一个习题就是一篇论文。你说 Hartshorne 光是论文那要读多少篇？不可想象的，多极了！这点上是很厉害的。

问：您说您当时在国内读 Hartshorne 这本书读不懂，是吗？

李克正：所谓读不懂，就是字面上懂了，但实际上没真正懂。光读点字面不行，必须理解它的精神实质。读代数几何必须找名师。现在有的学生写信说要我指导他自学代数几何，我说，算了，你要么到这儿来，要么放弃。我说我不会指导你自学。代数几何真的不能自学。积多少年经验，我认为自学代数几何是不可能的事情。你一个人在那儿念，念不好，念偏了，肯定走火入魔。

问：在伯克利的第一年就写论文了吗？

李克正：没有。到一年左右，在做论文之前要完成 Qualifying Examination 。之前先出卷子考两次。每次给你 10 个习题，最多做 7 个，最高是 70 分。这样考两次，最高是 140 分。我两次加在一块是 137 分。Qualifying Examination 这个口试是很难的，是“三堂会审”。由一个 5 人委员会专门考你一个人。而这 5 人委员会谁来主持呢？是由你自己去请，自己去跟教授谈，一个一个去谈。所有这 5 人都要买你帐，这 5 人必须抽出同一个时间，对他们来说是一个很大的负担。人家凭什么愿意？凭的是人家觉得你这个人还不错，否则他说一句“我没时间”就打发了。当时我先找 Hartshorne ，说请你做考试委员会主席，再让他推荐其他人。他说 Ogus 是你导师，也算一个。其他两个是分别教过我李群、代数拓扑的老师。还有一个人必须是外系的，我找了一个我非常尊重、非常著名的统计学教授。这样就组成了考试委员会。考试时他们每个人都一直问到我答不出来为止，知道你行不行。最后就通过了。是到最后才不行了，如果一开始就不行了，就完蛋了。这样我一年时间，这些东西我全部都通过了，剩下的时间全部都是在做论文。

问：您研究的领域是算术代数几何，您是怎么看这个领域的？

李克正：这是一个跨学科的东西。算术代数几何的目标是数论。以数论为背景做代数几何的人很多，他们懂代数几何，但眼光看着数论。研究数论的人或多或少都要研究代数几何，他们做的东西和真正做代数几何的人眼光不一样，关心的问题不一样，语言全是代数几何的语言，但是做出来的东西却可以翻译成数论的语言。现在稍微复杂一些的代数数论问题都必须要用代数几何的语言才能说清楚是怎么回事。这并不是故意要一个时髦。这需要花功夫去理解。否则你永远也搞不清楚。这是常识。我要稍微跟你们解释一下。

例如费马大定理中的方程没有整数解。但是从代数几何语言来说呢，是把它看作一条代数曲线。然后问这条代数曲线有没有有理点。这两个说法看上去好象一样，其实有很大的差别。因为一条代数曲线有没有有理点，不是由它的方程来决定的。方程可以换，可以把变量换一换，相当于作坐标变换。但有理点变来变去还是有理点。所以是否有有理点以及有多少个有理点跟坐标是没有关系的，不是由方程来决定的。它有非常实质性的东西。所以如果不是用几何语言的话，你说不清楚。它是一个与方程无关的东西。尤其是在高维的情况下，有很多的方程，那些方程乱得多，但是几何的东西就一个。我们的实质性问题，比如有没有有理点以及自同构的问题，所有这些问题都必须用几何的方式来处理。否则命题的表述都是不清楚的。

问：听上去像是流形的思想。概形是不是流形的某种类比或者推广？

李克正：对。那当然是这样。现代的几何是什么？现代的几何与经典的几何区别在什么地方？区别就是在整体性。整体性就是用流形的语言来表达的。但是流形是用什么来刻画的呢？流形实际上是用纤维丛来刻画的。从某种意义上说，流形上的“函数”就是纤维丛。所以说概形实际上就是把纤维丛的思想弄到代数几何中来，这根本上导致了现在的代数几何与以前的代数几何的不同。以前的代数几何都是用的局部方法，仿射的方法，坐标都是局部的。全部做完一个研究后，还要说明它跟坐标没有关系，与方程没有关系。那就要花很大的功夫，可能比那原来研究的功夫大得多。但是从流形的角度来讲，在我一开始做的东西中，坐标是一个可以自由选择的东西，以后每一步出来的东西都是与坐标的选择没有关系，最后的结果自然与坐标没有关系。比方说，切丛就是这样一个例子。这是一个背景，但这不是唯一的背景。当年 Grothendieck 提出概形这个概念时，考虑了好几个因素。

● 第一，它必须是整体的。他发现许多问题是整体的问题，不是局部的问题。比如上面这个方程 ，看上去是一个局部的东西，实际上绝对是一个整体的东西。为什么？我想你知道有一个 Mordell 猜想，后来被 Faltings 证明了。它是说，曲线的亏格如果大于 1 ，有理点就只有有限多个。亏格大于 1 是什么性质？完全是一个整体性质、拓扑性质。（此时在黑板上画了一个环面）这是一个“救生圈”，洞不止一个。洞如果是一个的话，可以有无限多个有理点。洞如果是两个的话，只能有有限个有理点了。这绝对是一个整体的性质，非常实质性的东西，拓扑性质的东西。这是必须要考虑到的一个极为重要的事情。Grothendieck 在做这个东西的时候都必须要拆开，然后把它粘起来，他感觉到整个这个过程就是一个研究整体性质的过程。

● 第二是奇异性，这是比较超前的。一直到不久前，所有几何学家研究的东西几乎全部都是完全光滑的东西。奇异性不是来自微分几何，它是来自复几何。真正研究奇异性是从复几何开始的，方程中有奇异性。他受这方面的影响。概形的包容性允许有奇异对象，而不仅仅研究光滑性。

● 第三是变形。变形的思想是这样的，这地方必须要有纤维丛，纤维丛的思想深刻地贯彻到这里。实际上，在我看来，没有纤维丛，就没有现代几何。所以我认为不懂纤维丛就不懂现代几何。概形有一个特点，概形里的函数可以处处都等于零，但它本身不是零。这种函数在其他的几何中都是不可理解的事情。比方说 Spec 的平方是零，它本身不是零。这里真正的思想是变形的思想。你可以把理解为微分，我这里头同时也把微分放进去了。微分的深刻理解实际上就是无穷小变形，这是非常深刻的思想。这个思想当然还是有几何直观的。但是真正把无穷小变形的结构和概形这个东西放在一起，这个思想完全是在代数几何中形成的，在其他的几何中是没有的。Grothendieck 在做概形的时候实际上已经把变形考虑在里面了。如果是走流形这条路的话，那我们可以得到代数流形，这些东西都是光滑的。但是如果考虑到奇点，则得到代数簇，代数簇是允许有奇点的。早期用的都是这种代数簇的语言，Grothendieck 考虑到无穷小变形时才会想到概形和幂零函数。这些东西看上去非常复杂，刚开始很难接受，但是大家到现在为止都接受了。这不仅因为它非常强大，而且确实有很多的好处。因为一开始设计概形这个概念的时候，就已经把无穷小变形装在里面了，到真要处理变形的时候，自然就很容易了，不需要更加复杂的东西。因为变形肯定比原来那个东西还要复杂。没有这个框架的话，代数几何根本就不可能走到今天这一步。

问：我看过《数学译林》杂志上的一篇文章，其中把 Grothendieck 比作数学中的爱因斯坦，您怎么看？

李克正：这无所谓，看个人怎么理解。但我相信 Grothendieck 对拓扑的理解非常深刻。他是真正的拓扑学家。所以他这样做出来的东西才经得起时间的考验。从他提出他的理论到现在已经 40 多年了，要不好的话，早就被淘汰了。以他当时的深刻性，你现在考虑到的东西，他当时都考虑到了。他的东西相当难懂。

问：您的博士论文题目是什么？

李克正：题目是 Classification of Supersingular Abelian Varieties ，超奇阿贝尔簇的分类。

问：我知道阿贝尔簇是椭圆曲线在高维的推广。这个 Supersingular 是什么意思？

李克正：它在数论上很重要，它是特征 p 的一种情况。椭圆曲线在特征 0 的时候是一种情况，在特征 p 的时候是另外一种情况。特征 0 的时候它的自同态环有整数环和虚二次域的代数整数环等。特征 p 的时候还可能是四元数环，这种椭圆曲线称为“超奇的”，这时数论性质非常丰富。四元数是非交换环，类似这种复杂的东西推广到高维的时候就是超奇阿贝尔簇。

超奇椭圆曲线最早是 Deuring 在 1947 年研究的。研究高维的情况应该是从 60 年代晚期开始，一直到 70 年代的早期。到 Oda 的时候已经是 1977 年了吧？这期间，很多顶尖的数学家都做过这个方面的工作。我可以举出来：Serre、Deligne、Ogus、Oort、Oda 这些人都是。很多人的工作都与此有关。那段时间是很热门的。我是在那个基础上做的，我做的是分类，就是把所有东西全部搞清楚。当然这个事情决不可能全在这篇论文里，但基本上全在我和 Oort 后来写的那本书上了。这是很不简单的一件事。分类学的意义就是说，这方面的东西全在这儿了，用不着满世界一个一个去找，一个一个地去研究，那是大海捞针。分类学的方法也是数学中一个非常强大的方法。

问：您在书中说过分类。但今天听您这样一讲，才感觉它重要。最后请谈谈您回国后的情况。

李克正：我在伯克利获得博士学位后，还在芝加哥大学工作过两年。1987 年我回国以后先在南开大学工作了两年，然后再到中国科学院研究生院。我的博士论文发表得很晚，一直到回国以后的 1989 年才正式发表，这是我发表的第一篇论文，发在一份很好的杂志美国《数学年刊》上。过了好多年，因为要查有关的评论，才在《数学评论》上赫然发现这篇论文的评论是 Faltings 写的！就是 1986 年拿菲尔兹奖的那位 Faltings ，这是不多见的。

在回国后的前 10 年中，除了教学和研究外，主要是和 Oort 一起写那本黄皮书。在经过了反复修改以及 Springer 出版社严格的审稿后，作为 Lecture Notes 中的一本出版。这期间还写了另外一本书《交换代数与同调代数》。可以说这本书也写了将近 10 年，书中的内容至少讲过 5 次。开始讲第一遍时先写一个讲义，以后每次讲都要修改。这样出来的书才有质量，从头到尾都是自己的东西，吃得非常透。绝对不能东抄一点，西抄一点。后来写的其他两本书《代数几何初步》和《抽象代数基础》，也都是这样写的，也都是至少讲了 5 次，《抽象代数基础》积累资料的时间更长，从芝加哥大学讲课那时就开始了。那都是自己的东西，都有自己的想法和体会。

问：对您的回答表示衷心感谢。