求幂级数的和函数 S(x)=∑(n=1,∞)x^n／[n(n+1)] 为什么要单独讨论 S(1) 和 S(-1) ？

泮安宁

该题目中为什么还要单独讨论 S(1) 和 S(-1)

泮安宁

为什么要用极限讨论-1和1呢，关于和函数这一块理解真是太模糊了

liangchuxu

泮安宁 发表于 2022-10-28 22:20
为什么要用极限讨论-1和1呢，关于和函数这一块理解真是太模糊了

对于和函数S(x)，当要讨论某点是否收敛，需将该点代入级数各项，由于无限多项之和，需要求极限。

luyuanhong

问  求幂级数的和函数 S(x)=∑(n=1,∞)x^n／[n(n+1)] 为什么要单独讨论 S(1) 和 S(-1) ？

答  因为在求解过程中，这幂级数拆分成了两个幂级数 ∑(n=1,∞)x^n／n 与 ∑(n=1,∞)x^n／(n+1) 之差。

    x=1 ，x=-1 是这两个幂级数收敛区间的边界，按一般的幂级数收敛判别法，不能保证这时幂级数是否收敛。

    事实上，当 x=1 时，这两个幂级数成为调和级数 ∑(n=1,∞)1／n 与 ∑(n=1,∞)1／(n+1) ，都是发散的。

    所以，必须要另外单独讨论 S(1) 和 S(-1) 。