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希尔伯特23个问题之第10问题已全部解决

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发表于 2022-11-5 16:26 | 显示全部楼层 |阅读模式
(一) 二项和不定方程
A^x+B^y=C^z
(1)当x、y、z两两互质时,原方程有正整数解;
(2)当x、y、z三个数中的一个数与另外两个数互质时,原方程有正整数解;
(3)当x、y、z中有一个数包含另外两个数的因子时(特别情况时,三个指数中最多只能有一个指数是2),原方程无正整数解;
(二)根据定向勾股数来判断:
(1)A^(2x)+B^(2y)=C^(2z)
此方程式的三个指数都拿出因子2之后,剩下的三个数只要两两互质,原不定方程就有正整数解。
注:剩下的这三个数可以其中一个数含2^k,当然,全部是奇数更好,更容易解方程。
例如:A^6+B^8=C^10就有正整数解……
(2)A^(2x)+B^(2y)=C^(2z)
当三个指数都拿出因子2之后,剩下的三个数中,若有两个数再含因子2,则原不定方程无正整数解;
例如:A^8+B^10=C^12就无正整数解……
(三)多项和(多于二项和的)不定方程,无论指数互质与否,个个有正整数解,即使是同次幂不定方程也有正整数解,例,3^3+4^3+5^3=6^3……
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