两个同样大小的小圆互相外切，内切于一个半径为 1 的半圆，求小圆的半径

dodonaomikiki

葡萄牙语国家数学竞赛衍生题-1

半圆里面藏着两个小圆，
她们等大相切，且与半圆相切。
半圆半径=1，
求小圆半径

dodonaomikiki

本来以为很简单，实际运用园方程，
不得了，
竟然被卡主啦！无语

dodonaomikiki

为了彻底搞清楚眉目，
我去了一个切点\(   P（x,y）        \)


然后得到两个方程
\(   （x-1+r）^2+(y-r)^2=r^2   \)
\(   （x-1）^2+y^2=1   \)


最后算不下去啦~~~无语得很！

小fisher

还是利用半圆圆心、小圆圆心、切点三点共线，得出r(1+√2)=1
r=√2-1

dodonaomikiki

感谢Fisher老师，王老师在口罩时代の鼎力相助！


来一个RIP=RAP
Fisher老师名字如斯
吾想多学一点ENGLISH【英格丽舒】
解答葡萄牙郭嘉数学难题
是多么RICH【睿智】

dodonaomikiki

我的理解，观察


直接观察出来
\(     the    \qquad    co-ordinates   \qquad        of   \qquad     point   \qquad     P :   \)
\(     (1+cos135^O,  sin135^O)     \)
【根据圆方程参数坐标】

dodonaomikiki

这张图上，可以看得更加清楚一点

dodonaomikiki

王守恩老师：

或: (1-r)^2+(1-r)^2=(2r)^2


您提出来的这个公式，
我想不通，可够讲解一二？
【那个帖子我回错啦，SORRY】

dodonaomikiki

王老师很赞，依据王老师的思路略略计算一番，好玩！
\begin{align*}
  (  1-r  )^2      -   ( 1-r )^2    &=(2r)^2   \\
1-2r+1-2r&=2r^2\\
1-2r&=r^2\\
r^2+2r-1&=0\\
\end{align*}




   \(       \Longrightarrow    r   \)
\begin{align*}  
&=\frac{-2  \pm   \sqrt{4-4(-1)}    }  {2}\\
&=\frac{-2  \pm  2 \sqrt{2}}{2}\\
&=-1+ \sqrt{2}【-1- \sqrt{2},Descarded】\\
\end{align*}