实数轴上 [0,1] 是不可数无限集？还是不可数有限集？

wufaxian

实数轴上[0,1]是不可数无限集？还是不可数有限集？如果是无限集，原因是什么？

Future_maths

是不可数无限集。如果是有限集，怎么是不可数？[0,1]中有无数个实数，所以是无限集。

liugongqin

回答错误0分。根据刘功勤定理3：任何一个不等于0的数的区间为（0 ，1】。在数轴上数的[ 0, 1]区间是错误的。

——你犯了一个不学无术违背刘功勤定理的错误。

wufaxian

liugongqin 发表于 2022-11-11 19:07
回答错误0分。根据刘功勤定理3：任何一个不等于0的数的区间为（0 ，1】。在数轴上数的[ 0, 1]区间是错误的 ...

刘功勤是谁，它为什么不学无术？

elim

\([0,1]\) 是不可数无穷集. 首先它是无穷集:\(\;\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}^+\}\subset[0,1]\).
其次它不是可数无穷集: 否则, \([0,1]\)的元素可排成不重不漏的序列\(x_1,x_2,x_3.\ldots\)
令\(I_0=[0,1],\,I_1\)是\(I_0\)的3个三等分相邻闭子区间中第一个不含\(x_1\)的子区间，
假定闭子区间\(I_1\supset I_2\supset\cdots\supset I_{n-1},\,x_k\not\in I_k,\,k=\overline{1,n-1}\)已取定，
取第一个不含\(x_n\)的\(I_{n-1}\)的三等分相邻闭子区间为\(I_n\). 易见区间 \(I_n\)长\(3^{-n}\),
据区间套定理，存在一实数 \(\xi\in\bigcap_{n=1}^\infty I_n\subset [0,1]\), 但排列\(x_1,x_2,x_3,\ldots\)
不含\(\xi\). 这个矛盾说明\([0,1]\)只能是不可数无穷集.