快速寻找梅森数的最小素因子

yangchuanju · 发表于 2022-11-18 11:02

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-18 11:09 编辑

梅森数分解窍门——快速寻找梅森数的最小素因子
经对指数不大于20000的2262个梅森数进行统计分析，
梅森数的指数按模4余数可分成余1和3两大类，
其中余1的1125个，余3的1136个，另有1个特例余2的1个（2^2-1=3）；
在第2素因子不大于10的15次方的736个梅森合数中，模4余1的345个，余3的391个；
总体看来，两余数基本相等（模4余3的稍稍多几个）。

对第2素因子不大于10的15次方的736个梅森合数，
首先求第1素因子减1与梅森数指数的比值（都是整数），
比值等于2的110个，6的66个，8的39个，10的20个，14的11个，16的20个，18的14个，……
其中没有比值是4,12,20，……8n+4的。
再求第2素因子减1与梅森数指数的比值（都是整数），
比值等于8的12个，10的0个，14的2个，16的4个，18的1个，……
也没有比值是12,20，……8n+4的。最小比值是8。

倍数第1素因子第2素因子
2 110 0——110为第1素因子是梅森数指数2倍+1的有110个
4 0 0
6 66 0——66为第1素因子是梅森数指数6倍+1的有66个
8 39 12——12为第2素因子是梅森数指数8倍+1的有12个
10 20 0
12 0 0
14 11 2
16 20 4
18 14 1
20 0 0
22 7 1
24 29 5
26 7 6
28 0 0
30 18 4
32 7 1
34 4 1
36 0 0
38 3 2
40 9 2
42 5 2
44 0 0
46 4 0
48 9 9
50 5 1
52 0 0
54 3 1
56 5 3

yangchuanju · 发表于 2022-11-18 11:10

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-18 11:24 编辑

如此看来，要寻找梅森合数的最小素因子，只需考虑8p+1，8p+3，8p+7型的数字即可，
不必再用8p+5型的数字去试除了，这里的p为梅森数的指数。

yangchuanju · 发表于 2022-11-18 11:12

进一步，对最小的第1素因子进行统计分析发现：
当指数模4余1时，只有第1素因子模24余7、17和23的，没有模24余1的；
当指数模4余3时，也只有第1素因子模24余7、17和23的，没有模24余1的；
当指数模4余1时，对于第1素因子减1与指数的
比值是 6时，第1素因子皆模24余 7；比值是 8时，第1素因子皆模24余17；
比值是14时，第1素因子皆模24余23；比值是16时，第1素因子皆模24余17；
比值是22时，第1素因子皆模24余23；比值是24时，第1素因子皆模24余1；
比值是30时，第1素因子皆模24余 7；比值是32时，第1素因子皆模24余17；
比值是38时，第1素因子皆模24余23；比值是40时，第1素因子皆模24余17；
比值是46时，第1素因子皆模24余23；比值是48时，第1素因子皆模24余1；……
三种比值一循环，比值为8n-2时第1素因子没有模24余1和17的，比值为8n时第1素因子没有模24余7和23的。

类似的，当指数模4余3时，对于第1素因子减1与指数的
比值是 2时，第1素因子皆模24余23；比值是 8时，第1素因子皆模24余17；
比值是10时，第1素因子皆模24余23；比值是16时，第1素因子皆模24余17；
比值是18时，第1素因子皆模24余 7；比值是24时，第1素因子皆模24余1；
比值是26时，第1素因子皆模24余23；比值是32时，第1素因子皆模24余17；
比值是34时，第1素因子皆模24余23；比值是40时，第1素因子皆模24余17；
比值是42时，第1素因子皆模24余 7；比值是48时，第1素因子皆模24余1；……
三种比值一循环，比值为8n+2时第1素因子没有模24余1和17的，比值为6n时第1素因子没有模24余7和23的。

yangchuanju · 发表于 2022-11-18 11:17

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-18 11:20 编辑

分解指数位数第1素因子第2素因子指模4余第1因子模24余 1因减1/梅森指数
FF 191 58 383 7068569257 3 23 2
FF 251 76 503 54217 3 23 2
FF 419 127 839 903780021613921 3 23 2
FF 443 134 887 207818990653657 3 23 2
FF 743 224 1487 1219280833 3 23 2
CF 1451 437 2903 174121 3 23 2
CF 1583 477 3167 189961 3 23 2
CF 3299 994 6599 19873177 3 23 2
CF 3779 1138 7559 2086009 3 23 2
CF 4211 1268 8423 92271433 3 23 2
CF 6563 1976 13127 26777041 3 23 2
CF 10091 3038 20183 484369 3 23 2
CF 10799 3251 21599 1024263553 3 23 2
CF 10883 3277 21767 7574569 3 23 2
CF 11699 3522 23399 561553 3 23 2
CF 11783 3548 23567 25451281 3 23 2
CF 12011 3616 24023 838097312281 3 23 2
CF 12899 3883 25799 28480993 3 23 2
CF 13619 4100 27239 790496415854569 3 23 2
CF 16823 5065 33647 2422513 3 23 2
CF 16931 5097 33863 3657097 3 23 2
CF 17291 5206 34583 142339513 3 23 2
CF 18731 5639 37463 2526437281 3 23 2
CF 19919 5997 39839 956113 3 23 2
FF 719 217 1439 772207 3 23 2
FF 2699 813 5399 307687 3 23 2
CF 2903 874 5807 60457879 3 23 2
CF 5003 1507 10007 1050631 3 23 2
CF 5039 1517 10079 122498341951 3 23 2
CF 5279 1590 10559 929178169951 3 23 2
CF 6491 1954 12983 69440719 3 23 2
CF 6551 1973 13103 4238492663239 3 23 2
CF 7043 2121 14087 88159606251751 3 23 2
CF 7691 2316 15383 23104702303 3 23 2
FF 8243 2482 16487 4207243687 3 23 2
CF 9371 2821 18743 7281660583 3 23 2
CF 9539 2872 19079 243552125824687 3 23 2
CF 13763 4144 27527 908359 3 23 2
CF 14783 4451 29567 4523599 3 23 2
CF 14831 4465 29663 38708911 3 23 2
CF 16091 4844 32183 675823 3 23 2
CF 16883 5083 33767 12054463 3 23 2
CF 17159 5166 34319 1609426654783 3 23 2
CF 17183 5173 34367 721687 3 23 2
CF 18443 5552 36887 85317319 3 23 2
CF 19163 5769 38327 443240191 3 23 2
CF 19391 5838 38783 2909929807 3 23 2
CF 19559 5888 39119 996922231 3 23 2
CF 19751 5946 39503 1480402430791 3 23 2
FF 11 4 23 89 3 23 2
FF 23 7 47 178481 3 23 2
FF 179 54 359 1433 3 23 2
FF 239 72 479 1913 3 23 2
FF 359 109 719 855857 3 23 2
FF 431 130 863 3449 3 23 2
FF 1031 311 2063 435502649 3 23 2
CF 1439 434 2879 46049 3 23 2
CF 1511 455 3023 3828330041 3 23 2
CF 2339 705 4679 299393 3 23 2
CF 2399 723 4799 5201033 3 23 2
CF 2963 892 5927 1374833 3 23 2
CF 4019 1210 8039 829167929 3 23 2
CF 4271 1286 8543 1595303921 3 23 2
CF 4919 1481 9839 2872697 3 23 2
CF 5231 1575 10463 41849 3 23 2
CF 5303 1597 10607 6024209 3 23 2
CF 5903 1777 11807 15489473 3 23 2
CF 6983 2103 13967 13630817 3 23 2
CF 7079 2131 14159 56633 3 23 2
CF 7151 2153 14303 2864483907497 3 23 2
CF 7211 2171 14423 57689 3 23 2
CF 7823 2355 15647 35370380236001 3 23 2
CF 7883 2374 15767 441449 3 23 2
CF 8111 2442 16223 41917649 3 23 2
CF 9059 2728 18119 30293297 3 23 2
CF 9479 2854 18959 48532481 3 23 2
CF 9791 2948 19583 536076833 3 23 2
CF 10271 3092 20543 1568045550713 3 23 2
CF 10691 3219 21383 10200069281 3 23 2
CF 11471 3454 22943 144075761 3 23 2
CF 12671 3815 25343 99847481 3 23 2
CF 12923 3891 25847 261251369 3 23 2
CF 12959 3902 25919 570507017 3 23 2
CF 13451 4050 26903 107609 3 23 2
CF 14879 4480 29759 119033 3 23 2
CF 17579 5292 35159 20798838409049 3 23 2
CF 17939 5401 35879 143513 3 23 2
FF 491 148 983 7707719 3 23 2
FF 911 275 1823 26129303 3 23 2
FF 1019 307 2039 75407 3 23 2
FF 1223 369 2447 31799 3 23 2
CF 1931 582 3863 50207 3 23 2
CF 2039 614 4079 572478534119 3 23 2
CF 2063 622 4127 53639 3 23 2
CF 3803 1145 7607 3816820103 3 23 2
CF 3863 1163 7727 1120271 3 23 2
CF 4943 1488 9887 128519 3 23 2
CF 5399 1626 10799 5272458239 3 23 2
CF 5639 1698 11279 2447327 3 23 2
CF 6899 2077 13799 23429893156919 3 23 2
CF 10331 3110 20663 268607 3 23 2
CF 11171 3363 22343 501913031 3 23 2
CF 11831 3562 23663 24583043351 3 23 2
CF 12119 3649 24239 8570677991 3 23 2
CF 13463 4053 26927 5497131383 3 23 2
CF 14303 4306 28607 715151 3 23 2
CF 14939 4498 29879 8276207 3 23 2
CF 15803 4758 31607 1696358907119 3 23 2
CF 17351 5224 34703 4615367 3 23 2
CF 19991 6018 39983 133262924687 3 23 2
FF 37 12 223 616318177 1 7 6
FF 1321 398 7927 1394977 1 7 6
FF 1361 410 8167 3397057 1 7 6
CF 1993 600 11959 162389641 1 7 6
CF 2593 781 15559 62233 1 7 6
CF 2621 789 15727 12895321 1 7 6
FF 3037 915 18223 145777 1 7 6
CF 5801 1747 34807 200204113 1 7 6
CF 7573 2280 45439 66397756052521 1 7 6
CF 7853 2364 47119 255002617 1 7 6
FF 11813 3557 70879 207971134271377 1 7 6
CF 11833 3563 70999 1135969 1 7 6
CF 12037 3624 72223 2022217 1 7 6
CF 12757 3841 76543 1837009 1 7 6
CF 14657 4413 87943 610317481 1 7 6
CF 15461 4655 92767 1113193 1 7 6
CF 17657 5316 105943 423769 1 7 6
FF 233 71 1399 135607 1 7 6
FF 557 168 3343 21993703 1 7 6
FF 577 174 3463 132305774316967 1 7 6
CF 1381 416 8287 462853283623 1 7 6
CF 6353 1913 38119 2172727 1 7 6
CF 6977 2101 41863 209311 1 7 6
CF 9613 2894 57679 146559799 1 7 6
CF 10457 3148 62743 313711 1 7 6
CF 17033 5128 102199 6234079 1 7 6
CF 19081 5744 114487 7881330727 1 7 6
FF 73 22 439 2298041 1 7 6
FF 397 120 2383 6353 1 7 6
FF 761 230 4567 6089 1 7 6
FF 1013 305 6079 71486759597273 1 7 6
CF 3181 958 19087 127241 1 7 6
CF 4597 1384 27583 73553 1 7 6
CF 5717 1721 34303 45737 1 7 6
CF 6277 1890 37663 1163404289 1 7 6
CF 6841 2060 41047 64962137 1 7 6
CF 7901 2379 47407 442457 1 7 6
CF 8377 2522 50263 134033 1 7 6
CF 10733 3231 64399 310226633 1 7 6
CF 11701 3523 70207 187217 1 7 6
CF 12421 3740 74527 53559353 1 7 6
CF 14033 4225 84199 193445668956521 1 7 6
CF 14537 4377 87223 927473241607793 1 7 6
CF 14593 4393 87559 933953 1 7 6
CF 16481 4962 98887 63814433 1 7 6
CF 17317 5213 103903 774554777 1 7 6
FF 601 181 3607 64863527 1 7 6
CF 3457 1041 20743 12609801701711 1 7 6
CF 3593 1082 21559 6086543 1 7 6
CF 4001 1205 24007 416775327791 1 7 6
CF 4273 1287 25639 719086079 1 7 6
CF 4933 1485 29599 3637821119 1 7 6
CF 5197 1565 31183 20195543 1 7 6
CF 6373 1919 38239 140207 1 7 6
CF 8353 2515 50119 154146263 1 7 6
CF 10973 3304 65839 153623 1 7 6
CF 13577 4088 81463 207429407 1 7 6
CF 13997 4214 83983 291781463 1 7 6
CF 15601 4697 93607 13073639 1 7 6
CF 15913 4791 95479 18951969263 1 7 6
CF 16561 4986 99367 1159271 1 7 6
CF 16741 5040 100447 1975439 1 7 6
CF 18041 5431 108247 338477835195287 1 7 6
CF 18077 5442 108463 240331654223 1 7 6
CF 18217 5484 109303 1054327055567 1 7 6
CF 19213 5784 115279 52563962903 1 7 6
CF 9341 2812 74729 113558835913 1 17 8
CF 12437 3744 99497 596977 1 17 8
CF 14669 4416 117353 352057 1 17 8
CF 19889 5988 159113 283162875241 1 17 8
FF 3041 916 24329 5565031 1 17 8
CF 6449 1942 51593 978611385679 1 17 8
CF 8429 2538 67433 455167 1 17 8
CF 8741 2632 69929 5926399 1 17 8
CF 13001 3914 104009 18880338223 1 17 8
CF 3329 1003 26633 665801 1 17 8
CF 12941 3896 103529 301661335793 1 17 8
CF 16937 5099 135497 72783031361 1 17 8
CF 19457 5858 155657 1147496033 1 17 8
FF 29 9 233 1103 1 17 8
FF 2837 855 22697 138871151 1 17 8
CF 13049 3929 104393 182687 1 17 8
CF 14957 4503 119657 8116086487463 1 17 8
CF 18797 5659 150377 1616543 1 17 8
CF 19289 5807 154313 118318727 1 17 8
CF 1367 412 10937 65617 3 17 8
CF 7919 2384 63353 415556493721 3 17 8
CF 8867 2670 70937 9284174617 3 17 8
FF 10211 3074 81689 735193 3 17 8
CF 10979 3306 87833 270610393 3 17 8
CF 12107 3645 96857 8707160689 3 17 8
CF 12539 3775 100313 667726328345929 3 17 8
CF 3347 1008 26777 119588311 3 17 8
FF 5087 1532 40697 1678711 3 17 8
CF 9851 2966 78809 3723679 3 17 8
CF 12479 3757 99833 9508999 3 17 8
CF 13367 4024 106937 2807071 3 17 8
CF 13679 4118 109433 246223 3 17 8
CF 1667 502 13337 2493833 3 17 8
CF 16319 4913 130553 2074340729 3 17 8
CF 19211 5784 153689 734223677806457 3 17 8
CF 1871 564 14969 112667879 3 17 8
CF 2411 726 19289 1393559 3 17 8
CF 3119 939 24953 230807 3 17 8
CF 3767 1134 30137 50455199 3 17 8
FF 571 172 5711 27409 3 23 10
FF 883 266 8831 63577 3 23 10
FF 6199 1867 61991 743881 3 23 10
CF 4903 1476 49031 13973551 3 23 10
CF 5431 1635 54311 1401199 3 23 10
CF 12379 3727 123791 44996897503 3 23 10
CF 16747 5042 167471 7938079 3 23 10
FF 1459 440 14591 93377 3 23 10
CF 1663 501 16631 6013409 3 23 10
CF 11119 3348 111191 978473 3 23 10
CF 16603 4999 166031 32541881 3 23 10
CF 19699 5930 196991 108108113 3 23 10
FF 43 13 431 9719 3 23 10
FF 1723 519 17231 56421359 3 23 10
CF 3511 1057 35111 161544150527 3 23 10
CF 6367 1917 63671 3101635266047 3 23 10
CF 9511 2864 95111 1366035502967 3 23 10
CF 11959 3601 119591 4667534676071 3 23 10
CF 14767 4446 147671 57561767 3 23 10
CF 15319 4612 153191 164495423 3 23 10
FF 929 280 13007 340388595097 1 23 14
CF 1433 432 20063 53101249 1 23 14
CF 4373 1317 61223 104953 1 23 14
CF 13109 3947 183527 3146161 1 23 14
CF 2609 786 36527 7404343 1 23 14
CF 10949 3296 153287 1472136847 1 23 14
CF 2393 721 33503 10758929 1 23 14
CF 2657 800 37199 148793 1 23 14
CF 6029 1815 84407 249359441 1 23 14
CF 4793 1443 67103 63557202647 1 23 14
CF 7529 2267 105407 209170679 1 23 14
CF 3793 1142 60689 91033 1 17 16
CF 17581 5293 281297 4186287016033 1 17 16
CF 8017 2414 128273 585930463 1 17 16
CF 10141 3053 162257 136599271 1 17 16
CF 5521 1662 88337 3533441 1 17 16
CF 15241 4588 243857 609641 1 17 16
CF 4561 1373 72977 287312273008223 1 17 16
CF 6781 2042 108497 2091592872431 1 17 16
FF 7417 2233 118673 16269026327 1 17 16
CF 18517 5575 296273 121286351 1 17 16
CF 9883 2976 158129 10436449 3 17 16
CF 19447 5855 311153 1645216201 3 17 16
CF 9127 2748 146033 8707159 3 17 16
CF 12391 3731 198257 54049543 3 17 16
CF 13003 3915 208049 1170271 3 17 16
CF 4447 1339 71153 155573849 3 17 16
CF 12583 3788 201329 805313 3 17 16
CF 16231 4887 259697 564319409 3 17 16
CF 16963 5107 271409 6683423 3 17 16
CF 18127 5457 290033 52001033663 3 17 16
FF 4127 1243 74287 2080009 3 7 18
CF 10247 3085 184447 246419857 3 7 18
CF 15091 4543 271639 2661690217 3 7 18
CF 16787 5054 302167 1611553 3 7 18
CF 19207 5782 345727 846222007 3 7 18
CF 4099 1234 73783 262337 3 7 18
CF 14779 4449 266023 10471571777 3 7 18
CF 16927 5096 304687 769635888089 3 7 18
CF 17599 5298 316783 7884353 3 7 18
CF 7459 2246 134263 30702927183023 3 7 18
CF 13751 4140 247519 7528204967 3 7 18
CF 15131 4555 272359 38311969472279 3 7 18
CF 16871 5079 303679 4082783 3 7 18
CF 19727 5939 355087 512903 3 7 18
CF 4153 1251 91367 886989998809 1 23 22
CF 12049 3628 265079 3819436609 1 23 22
CF 8761 2638 192743 21086064775471 1 23 22
CF 14149 4260 311279 424471 1 23 22
CF 16573 4989 364607 588828580471 1 23 22
CF 1789 539 39359 254039 1 23 22
CF 13669 4115 300719 956831 1 23 22
CF 4057 1222 97369 9421717153 1 1 24
CF 13417 4039 322009 2395417513 1 1 24
CF 15413 4640 369913 322326890233 1 1 24
CF 10513 3165 252313 508471759 1 1 24
CF 11197 3371 268729 33954656167 1 1 24
CF 11969 3604 287257 12711079 1 1 24
CF 16273 4899 390553 136790839 1 1 24
CF 19237 5791 461689 577111 1 1 24
CF 3797 1144 91129 16689030041 1 1 24
CF 9397 2829 225529 2405633 1 1 24
CF 17497 5268 419929 75866993 1 1 24
CF 19333 5820 463993 2974498049 1 1 24
FF 7673 2310 184153 13918823 1 1 24
CF 8293 2497 199033 6874946759 1 1 24
CF 10289 3098 246937 526598551692047 1 1 24
FF 10007 3013 240169 60282169 3 1 24
CF 15887 4783 381289 762577 3 1 24
CF 16447 4952 394729 2763097 3 1 24
CF 8467 2549 203209 6655063 3 1 24
CF 10867 3272 260809 1646909346343 3 1 24
CF 13963 4204 335113 90492890479 3 1 24
CF 18367 5530 440809 106681156303 3 1 24
CF 18743 5643 449833 6185191 3 1 24
FF 463 140 11113 3407681 3 1 24
FF 967 292 23209 549257 3 1 24
CF 2663 802 63913 15743657 3 1 24
CF 17443 5251 418633 113105854217 3 1 24
CF 4759 1433 114217 161807 3 1 24
CF 13903 4186 333673 6812471 3 1 24
CF 6947 2092 180623 333457 3 23 26
CF 15731 4736 409007 7525207009 3 23 26
CF 17027 5126 442703 96032281 3 23 26
CF 18143 5462 471719 6966913 3 23 26
CF 8231 2478 214007 14329002199 3 23 26
CF 8783 2644 228359 46912673033 3 23 26
CF 10607 3194 275783 195867249737 3 23 26
FF 1129 340 33871 833798113 1 7 30
CF 2389 720 71671 172009 1 7 30
CF 3529 1063 105871 5335849 1 7 30
CF 5189 1563 155671 3362473 1 7 30
CF 9973 3003 299191 7419913 1 7 30
CF 2617 788 78511 2213983 1 7 30
CF 4957 1493 148711 3003943 1 7 30
CF 15901 4787 477031 87487303 1 7 30
CF 18061 5437 541831 82988135446231 1 7 30
CF 15061 4534 451831 161912256353 1 7 30
FF 113 35 3391 23279 1 7 30
FF 937 283 28111 2419437071 1 7 30
CF 1229 370 36871 46703 1 7 30
CF 3257 981 97711 4032167 1 7 30
CF 3701 1115 111031 318287 1 7 30
CF 8629 2598 258871 957404790743 1 7 30
CF 12073 3635 362191 845111 1 7 30
CF 16657 5015 499711 7962047 1 7 30
CF 15761 4745 504353 66819673259737 1 17 32
FF 1049 316 33569 459463 1 17 32
CF 10613 3195 339617 19843649681743 1 17 32
CF 13799 4154 441569 644487041857 3 17 32
CF 14891 4483 476513 251240953 3 17 32
CF 17783 5354 569057 5548297 3 17 32
FF 839 253 26849 138561000316919 3 17 32

yangchuanju · 发表于 2022-11-18 11:23

不论梅森数的指数模4余1还是余3，它们都是模8余7型的数字。
第1素因子模24共有4种余数：1,7,17,23；没有模24余5,11,13,19的；
或者说第1素因子只有模8余1和7的，没有模8余3和5的；
因此，在选择试除数字时，只需考虑模8余1和7的奇数即可。

不论梅森数的指数模4余1还是余3，它们都是模8余7型的数字。
第1素因子模24共有4种余数：1,7,17,23；或者说都是模8余1和7的；
第2素因子也都是模8余1和7的：1*1=1,1*7=7,7*1=7,7*7=49模8余1。
1*5=5,7*5=35，模8都不等于1或7。
例梅森数2^571-1的最小素因子是5711,5711=571*10+1=（8+2）*571+1=（8k+2）p+1；
第2素因子27409=571*48+1=（8*6）*571+1=8kp+1。

从前面的分析可知，试除数应该是指数的p的8k、8k+2、8k+6倍再加1型的奇数；
这里进一步给出，在上述奇数中只用模8余1和7的奇数试除即可。

yangchuanju · 发表于 2022-11-18 11:25

100000007是一个最小的9位素数（大于1亿的最小素数），
梅森数2^100000007-1如果是一个合数，则它的最小素因子是8k*100000007+1, (8k+2)*100000007+1=8k*100000007+200000015,
(8k+6)*100000007+1=8k*100000007+600000043型的奇数中的模8余1和余7的数字(k=1,2,3…)；
第1类数字模8余1，第2类数字模8余7，第3类数字模8余3；
第3类数字不必再作为试除数去试除。

yangchuanju · 发表于 2022-11-18 11:25

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-18 15:42 编辑

假定3.322*10^8+7=332200007是一个稍大于3.322亿的素数，
梅森数2^332200007-1如果是一个合数（亿位数字），则它的最小素因子是8k*332200007+1（k=1时是26亿多的10位的数字）, (8k+2)*332200007+1, (8k+6)*332200007+1 型的奇数中的模8余1和余7的数字(k=1,2,3…)；
当然可以只用其中的模8余1和模8余7的数字去试除，模8余3的一大类数字不用再试除了。

若试除到某一步，找到了那个亿位梅森数的一个最小素因子，说明那个梅森数是个合数，它的最大素因子不可能再有1亿位了；
寻找1亿位大素数第一次受挫！

将亿位大指数再加大一些，从头再来，……
指数加大，加大，再加大，……直到找到了一个梅森素数，方才算是找到了一个亿位大素数！

请注意，上面所找到的是亿位梅森素数，离太阳先生要找的亿位梅森素因子还差108000光年（里）呢！

yangchuanju · 发表于 2022-11-18 12:57

第51个梅森素数被成功发现
A-A+2019-01-02 17:04:02　大众网　 440次浏览　
据国外媒体报道，一位名叫帕特里克·罗什的美国人最近利用"互联网梅森素数大搜索(GIMPS)"项目，成功发现第51个梅森素数2^82589933-1(即2的82589933次方减1);该素数有24862048位，是迄今为止人类发现的最大素数。如果用普通字号将它打印下来，其长度将超过100公里!

素数又叫质数，是在大于1的自然数中只能被1和其自身整除的数。每个自然数都可以唯一地分解成有限个素数的乘积，素数因此构成了自然数体系的基石。2300多年前，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中证明了素数有无穷多个，并提出一些素数可写成"2p-1"(其中P也是素数)的形式。

由于这种特殊形式的素数具有独特数学性质，许多著名数学家以及无数数学爱好者对它情有独钟。其中，17世纪的法国数学家、法兰西科学院奠基人梅森在这方面有过重要贡献。为了纪念梅森，数学界就将"2p-1"型的素数称为"梅森素数"。

梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其素性检验的难度就会很大。享有"数学英雄"美誉的瑞士数学家及物理学家欧拉1772年在双目失明的情况下，以顽强毅力靠心算证明了231-1是第8个梅森素数;该素数有10位，堪称当时世界上已知的最大素数。在"手算笔录年代"，人们历尽艰辛，共计才找到12个梅森素数。

电子计算机的出现，尤其是网格计算时代的到来，大大加快了梅森素数探究步伐。1996年初，美国数学家及程序设计师沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上免费使用。这一计算程序就是著名的GIMPS项目，也是全球首个基于互联网的网格计算项目。目前，全球有近70万人参与该项目，动用了超过180万核中央处理器联网来寻找梅森素数--这在数学史上前所未有，在科学史上也极为罕见。

yangchuanju · 发表于 2022-11-18 13:06

在100000000--1000001000（跨距1000）中共有54个素数，其中10000007是最小的大于1亿的素数。
100000007 100000037 100000039 100000049 100000073 100000081 100000123 100000127
100000193 100000213 100000217 100000223 100000231 100000237 100000259 100000267
100000279 100000357 100000379 100000393 100000399 100000421 100000429 100000463
100000469 100000471 100000493 100000541 100000543 100000561 100000567 100000577
100000609 100000627 100000643 100000651 100000661 100000669 100000673 100000687
100000717 100000721 100000793 100000799 100000801 100000837 100000841 100000853
100000891 100000921 100000937 100000939 100000963 100000969
寻找大梅森素数或梅森因子时，请务必把指数确定为素数，否则指数为合数时，它的素因子就要小多啦！

yangchuanju · 发表于 2022-11-18 13:12

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-18 15:50 编辑

懵对了，332200007是一个稍大于3.322亿的素数！
下面是332200000——332210000之间的素数（254个），以这些素数为指数的梅森数位数大于1亿位，如果您能确定其中个某一个是素数，则大于1亿位的素数即被您找到，届时您的名声就飞满全球了！
332200007 332200019 332200021 332200027 332200049 332200051 332200067 332200079
332200087 332200117 332200139 332200147 332200157 332200189 332200217 332200223
332200229 332200273 332200301 332200303 332200321 332200361 332200369 332200381
332200397 332200403 332200457 332200471 332200487 332200507 332200529 332200543
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332209897 332209901 332209909 332209967 332209979 332209991
10万内共254个素数

在全部8位数中，才有几个梅森素数；估计全部9位数中梅森素数的个数仍然是个位数（几个），约合一亿多个整数中才有一个梅森素数，故在上述10万内的254个梅森数中有梅森素数的可能性非常非常小！

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