关于泊松分布证明过程中关键步骤的疑问

wufaxian

泊松分布被认为是二项分布的一个极限。既认为n趋于无穷大，p趋于无穷小，二项分布的期望值np=\(\lambda\)   \(\lambda\)是常数

但是我在网上查了一下。无穷大*无穷小 等于不定式。但是泊松分布的证明过程却认为无穷大*无穷小等于常数。这难道不矛盾么？我应该如何理解np= \(\lambda\) 这件事情？

luyuanhong

在一般的情形，如果 x 与 y 是两个互相独立的变量，当 x 趋于无穷大，y 趋于无穷小时，

它们的乘积 xy 确实是一个不定式。

但是，如果 x 与 y 是两个有关系的变量，例如 y=2/(x+1) ，当 x 趋于无穷大，y=2/(x+1)

趋于无穷小时，这时它们的乘积 xy=2x/(x+1) 就不是不定式了，而是会趋于一个常数 2 。

在二项分布趋于泊松分布的情形，也是这样，我们设这时 n 与 p 是两个有固定关系的变量，

即固定有 p=λ/n 。当 n 趋于无穷大， p=λ/n 趋于无穷小，这时它们的乘积 np=nλ/n=λ

就不是不定式了，而是会趋于一个固定的常数 λ 。