关于泊松分布适用条件的疑问！

wufaxian

由泊松分布的推导过程可知，泊松分布是二项分布 在n趋于无穷时的极限， 得到的均值\(\lambda\)  =np，其中p是二项分布的概率。n趋于无穷是其适用的前提。因为e的引入就是以n趋于无穷为前提的！！！，请看下图蓝框：

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再看下面这道题，只能选D不能选A就非常合理了。因为题干明确投篮十次这个前提，这个n太小了。不满足n趋于无穷的条件。因此不能应用泊松分布来求解。
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但是后面问题来了！！！，下图这道题。可以得到两个均值\(\lambda\)  。9-11点之间的均值28（这其实还是根据15分钟均值计算出来的），还有一个就是十五分钟的均值3.5。题目在计算第二问的时候。直接使用了15分钟均值3.5代入泊松分布的公式进行计算。
针对于这道题，我有两个疑问：
1、15分钟的均值，是否和上一道投篮的题一样，面临n过小，不适用泊松分布的情况？还是说这类时间段的问题，由于是连续样本（时间是连续的）所以都可以看作n趋于无穷！这类问题往往无法给出n 和p。都是直接给\(\lambda\)

2、问题涉及到一个均值选取的问题。因为二项分布的期望值=np，p不变的情况下，n越大，期望值越大。 这样在实际应用泊松分布时就面临期望值\(\lambda\) 取舍的问题。比如上面投篮的那道题。在投篮命中率P=0.6（为了方便讨论，将命中率改为0.6）不变的情况下可以有不同的问法：
     A：投1000次，命中500次的概率是多少？
     B：投10000次，命中500次的概率是多少？
     针对问题A，似乎应该用期望值\(\lambda\)=1000*0.6=600  似乎更“匹配” 。但是考虑到泊松分布是n趋于无穷时得到的计算结果。那么取n=10000 所对应的期望值 似乎更符合“n趋于无穷的要求”，可是这时对应的期望值就是6000了。代入泊松分布的公式计算结果应该会更精准吧？但实际情况时你用期望值6000去计算，结果趋近0！！量纲相差太大了！
     C：投1000次，命中550次的概率
     D：投1200次，命中550次的概率
     针对C、D这两问。请问计算C时，我选取期望值是用1000*0.6？ 还是1200*0.6？  理由是什么？

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wufaxian

我思考了一下这个问题。自问自答一下。请各位老师看看我重新思考后理解对不对。

关于第一问：
1、15分钟的均值，是否和上一道投篮的题一样，面临n过小，不适用泊松分布的情况？还是说这类时间段的问题，由于是连续样本（时间是连续的）所以都可以看作n趋于无穷！这类问题往往无法给出n 和p。都是直接给\(\lambda\)

     回答：这个问题可以这样考虑假设15分钟内。做了n次等间隔时间的检测。看看是否有电话打进来。这个间隔可以是1秒，可以是0.5秒。可以是0.00005秒。总之间隔越小，代表n越大。但是15分钟只打进来3.5个电话。如果n非常大的话，那么每次检验出现电话打进来的概率一定非常低！！。这就符合了泊松分布的应用前提提交见，n趋向无穷大，p趋向无穷小。
     根据这个思路，凡是类似“一个时间段内发生x次事件”的问题。利用泊松分布时，必须保持时间段的一致性。比如题目给出1个小时内打进3.5个电话。那么2个小时打进5个电话的概率是多少。
     必须要将1个小时的期望值3.5，换算成2个小时的均值7，然后再代入泊松分布公式计算。理由是泊松分布本质上是一个二项分布的极限。当我们利用二项分布的均值np ，求解P(x=1) P(x=2)…………时。首先要保证你推断的P(x=1) P(x=2)……和均值条件np是在同一个二项分布中。这里所说的“同一个二项分布“就是总试验次数n必须相等。因为二项分布的期望值=np，这个值于n线性相关。
     假设实验的时间间隔相同。那么1个小时的试验次数是n，2个小时的试验次数就是2n，因此你要保持推断于期望值一致。你就要把一个小时的均值 换算成  两个小时的均值，再代入泊松分布公式进行计算。


2、

   回答：这种投篮问题似乎不应该用泊松分布求解。主要原因是P=0.6太大。不符合泊松分布应用的前提！