【答】改编于2022第二届丘赛（女子）】椭圆的内接六边形面积之最大值

dodonaomikiki

\(    \Gamma:   \frac{x^2}{4}+y^2=1  \)
求解：  这个椭圆的内接六边形面积之最大值

dodonaomikiki

注意到：
她题目如果说正六边形，那解答可能会简便一些
但显然，可以是任意六边形，只要面积最大好啦！这样一问的话，难度增大啦

dodonaomikiki

若在椭圆里面，
画一个正六边形，
它的面积是多少呢




图中观察得知
\(        sint  =\sqrt{3} \bullet   2cost      \)
\(        \Longrightarrow   2cost=2 \bullet     \frac{1}{  \sqrt{4  \bullet  3  +1}}= \frac{2}{ \sqrt{13} }   \)
\(        \Longrightarrow    正六边形边长=2  \bullet \frac{2}{ \sqrt{13} }=\frac{4}{ \sqrt{13} }   \)
\(        \Longrightarrow      正六边形面积=6 \bullet  \frac{2}{ \sqrt{13} }\bullet \frac{2\sqrt{3}}{ \sqrt{13} }   \)
\(        = \frac{24\sqrt{3}}{    13 }   \)




【为了清晰起见，截取部分图】

dodonaomikiki

感觉正确答案，似乎更行云流水一些
DO    an   affirm   transformation

\(      \begin{cases}            X=\frac{x}{2}         \\                Y=\frac{y}{1}              \end{cases}               \)
\(        \Longrightarrow      X^2+Y^2=1               \)         

这样，我们就发现
内涵最大的正六边形有6个正 \(     \blacktriangle          \)组成
\(     S=  6 \bullet \frac{1}{2}     \bullet   \frac{\sqrt{3} }{2} = \frac{3\sqrt{3} }{2}            \)
回归”本源【本来の妥园】”
\(     S= 2 \bullet 1     \bullet   \frac{3\sqrt{3} }{2} =3\sqrt{3}           \)



结果就发现，
正确答案里面，这个最大面积比三楼里面的正六边形面积大得多

Nicolas2050

解答！她她她她她她她她她她她她她她她忐忑

dodonaomikiki

评价仿射：

现在回过头来看，
这个affirm   transformation,
还是比较好玩的！
存在一定美感，另外做这个仿射技术的时候，计算也不是很难 还是一个比较好的数学手段

Nicolas2050

椭圆 x^2／a^2+y^2／b^2=1 ，a=2,b=1.
100000次计算机模拟：

最大凸六边形面积：5.187918

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