等腰直角ΔACB中，∠C=90°，D,E在AC,CB上，AD=CE，过C作DE垂线交AB于G，求证：CG=DE

uk702

如图，等腰直角△ACB中，∠C=90°，D为AC上的一点，E为CB上的一点，且AD=CE，过C作DE的垂线交AB于G，求证：CG=DE。

王守恩

\(记CE=AD=1,\ ∠BCG=∠CDE=\theta,\ ∠AGC=45+\theta\)

\(正弦定理(△DEC): DE=\frac{1}{\sin(\theta)},DC=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\)

\(正弦定理(△AGC): CG=\frac{\big(1+\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\big)\sin(45)}{\sin(45+\theta)}\)

\(化简:\frac{CG}{DE}=1\)

王守恩

\(记∠CDE=\theta,DE=1,DC=\cos\theta,CE=\sin\theta\)

\(CG=\frac{(\cos\theta+\sin\theta)\sin45^\circ}{\sin(\theta+45^\circ)}=1\)

kanyikan

用同一法可以证明，并且不太难。

uk702

kanyikan 发表于 2022-12-8 16:44
用同一法可以证明，并且不太难。

是的，有证法如下。

（反证法）如图，作 GH⊥CB，

假若 CG > DE，则由于 △CGH∽△DEC，∴ GH > CE，CH > CD
又 GH = HB，∴ CB = CH +  HB  = CH + GH > CD + CE = CD + AD = CA。
矛盾！所以 CG > DE 并不成立。

同理可证 CG < DE 也不可能。

luyuanhong

luyuanhong

luyuanhong

王守恩

uk702 发表于 2022-12-8 17:01
是的，有证法如下。

（反证法）如图，作 GH⊥CB，

添了根线，证明起来就降水平了。

比较 ΔECD 与 ΔGHC,  角度=角度, 直角边的和=直角边的和,

即: \(k(\cos\theta+\sin\theta)=p(\cos\theta+\sin\theta)\), 只能是 k=p

时空伴随者

等腰直角△ACB中，∠C=90°，D为AC上的一点，E为CB上的一点，且AD=CE，过C作DE的垂线交AB于F，求证：CF=DE。