A^2+B^2≠3C^2

费尔马1

A2+B2=3C2
山东省兰陵县磨山镇华二村 程中战

（一）求证A2+B2=3C2无正整数解
设A=3k   B=3n 则（3k）2+（3n）2=3×3×（k2+n2）
假设3×3×（k2+n2）=3C2  那么3×（k2+n2）=C2
必须k2+n2=3Y2  这个式子与原命题相同，出现循环证明，
所以，原命题成立。
（二）解丢番图方程A2+B2=（x2+y2）C2
解：设a2+b2=c2 ………………………………（1）
x2+y2=z2      （1）式两边同×z2得，
（za）2+（zb）2=z2c2…………………………（2）
已知，a=m2-n2   b=2mn  c=m2+n2
x=u2-v2   y=2uv   z=u2+v2
代入（2）式得
[ ( m2-n2) (u2+v2)]2+[2mn(u2+v2)]2=[ (u2-v2)2+(2uv)2] ( m2+n2)2
A= ( m2-n2) (u2+v2)
B=2mn(u2+v2)
C= m2+n2
x2+y2 =(u2-v2)2+(2uv)2
                          2022-12-9
（三）求证：不定方程A2+B2=D C3有正整数解？其中，常数D为任意正整数。并写出此不定方程的一组通解公式？

费尔马1

满天星勾股数
山东省兰陵县磨山镇华二村 程中永

定理：存在一个平方数等于任意个平方数之和。
公式   b=(a^2+m^2+……+n^2-k^2)/(2k)……………………………………（1）
（1）式中，a、m、……、n、k可随机取值，只要分式能整除，b即有正整数解，
则（b+k）^2=b^2+a^2+m^2+……+n^2 ………………………………………（2）
当（1）变为公式 时，b=(a^2-k^2)/(2k)即退化为勾股数公式。
令a=ku  则b=[k(u^2-1)]/2   c=b+k  …………………………………（3）
在（3）式中，当u为奇数、k为正整数时，b有正整数解；
当u为偶数、k为偶数时，b有正整数解。
例1.        有 690^2=685^2+15^2+20^2+45^2+65^2
例2.    有36^2=34^2+1^2+2^2+…+7^2
例3.  
有 24900^2=24893^2+1^2+2^2+3^2+……+100^2+101^2
例4.  
有 83457151^2=83457149^2+25^2+26^2+27^2+……+999^2+1000^2
………………………………………………………………………
                                                   2022-12-10