奇怪的题

费尔马1 · 发表于 2022-12-10 19:19

y^2=1^2+2^2+3^2+……+9999^2+10000^2+x^2，
求正整数x、y？

yangchuanju · 发表于 2022-12-11 15:10

题目简单，但数字多，数字大，不是小学生能够轻易解出的。

yangchuanju · 发表于 2022-12-11 15:11

求方程y^2=1^2+2^2+3^2+……+10000^2+x^的正整数解。
解：1^2+2^+3^+……+n^2=1/6*n*(n+1)*(2n+1)
令n=10000，则1^2+2^+3^+……+10000^2=1/6*10000*10001*20001=5000*10001*6667
由：y^2=1^2+2^+3^+……+10000^2+x^2
得：y^2-x^2=5000*10001*6667=333383335000
5000=2^3*5^4，10001=73*137，6667=59*113；
(y-x)*(y+x)=2^3*5^4*59*73*113*137，共11个素因子；
11个素因子不同组合可形成多种两整数之积。
令y-x和y+x分别等于其中的一个整数，解之，
若该组有解，则找到了原方程的一组解。
例右端等于2*166691667500时，可令y-x=2, y+x=166691667500，
2y=166691667502, y=83345833751, x=83345833749。
数字较大，不宜直接检验；可用(y-x)*(y+x)检验即可。
经检验，第1组正整数解被找到。

令y-x和y+x等于另一组乘积，或许又找到原方程的另一组正整数解；
逐个解之即可。

yangchuanju · 发表于 2022-12-11 15:11

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-12 04:31 编辑

11个素因子共有320种不同的组合方式（含1×***），经逐个解之，共有80个方程有正整数解；
若不限制正整数，改为整数解，则有160个方程有整数解；
若允许方程的解可以是分数（不限正负），则320个方程全有解。

yangchuanju · 发表于 2022-12-12 04:32

序号 y-x y+x 2y y x
1 2 166691667500 166691667502 83345833751 83345833749
2 4 83345833750 83345833754 41672916877 41672916873
5 10 33338333500 33338333510 16669166755 16669166745
6 20 16669166750 16669166770 8334583385 8334583365
9 50 6667666700 6667666750 3333833375 3333833325
10 100 3333833350 3333833450 1666916725 1666916625
13 250 1333533340 1333533590 666766795 666766545
14 500 666766670 666767170 333383585 333383085
17 1250 266706668 266707918 133353959 133352709
18 2500 133353334 133355834 66677917 66675417
35 118 2825282500 2825282618 1412641309 1412641191
36 236 1412641250 1412641486 706320743 706320507
39 590 565056500 565057090 282528545 282527955
40 1180 282528250 282529430 141264715 141263535
43 2950 113011300 113014250 56507125 56504175
44 5900 56505650 56511550 28255775 28249875
47 14750 22602260 22617010 11308505 11293755
48 29500 11301130 11330630 5665315 5635815
51 73750 4520452 4594202 2297101 2223351
52 147500 2260226 2407726 1203863 1056363
54 146 2283447500 2283447646 1141723823 1141723677
55 292 1141723750 1141724042 570862021 570861729
58 730 456689500 456690230 228345115 228344385
59 1460 228344750 228346210 114173105 114171645
62 3650 91337900 91341550 45670775 45667125
63 7300 45668950 45676250 22838125 22830825
66 18250 18267580 18285830 9142915 9124665
67 36500 9133790 9170290 4585145 4548645
70 91250 3653516 3744766 1872383 1781133
71 182500 1826758 2009258 1004629 822129
73 226 1475147500 1475147726 737573863 737573637
74 452 737573750 737574202 368787101 368786649
77 1130 295029500 295030630 147515315 147514185
78 2260 147514750 147517010 73758505 73756245
81 5650 59005900 59011550 29505775 29500125
82 11300 29502950 29514250 14757125 14745825
85 28250 11801180 11829430 5914715 5886465
86 56500 5900590 5957090 2978545 2922045
89 141250 2360236 2501486 1250743 1109493
90 282500 1180118 1462618 731309 448809
92 274 1216727500 1216727774 608363887 608363613
93 548 608363750 608364298 304182149 304181601
96 1370 243345500 243346870 121673435 121672065
97 2740 121672750 121675490 60837745 60835005
100 6850 48669100 48675950 24337975 24331125
101 13700 24334550 24348250 12174125 12160425
104 34250 9733820 9768070 4884035 4849785
105 68500 4866910 4935410 2467705 2399205
108 171250 1946764 2118014 1059007 887757
109 342500 973382 1315882 657941 315441
111 8614 38702500 38711114 19355557 19346943
112 17228 19351250 19368478 9684239 9667011
115 43070 7740500 7783570 3891785 3848715
116 86140 3870250 3956390 1978195 1892055
119 215350 1548100 1763450 881725 666375
120 430700 774050 1204750 602375 171675
130 13334 25002500 25015834 12507917 12494583
131 26668 12501250 12527918 6263959 6237291
134 66670 5000500 5067170 2533585 2466915
135 133340 2500250 2633590 1316795 1183455
138 333350 1000100 1333450 666725 333375
149 16166 20622500 20638666 10319333 10303167
150 32332 10311250 10343582 5171791 5139459
153 80830 4124500 4205330 2102665 2021835
154 161660 2062250 2223910 1111955 950295
157 404150 824900 1229050 614525 210375
168 16498 20207500 20223998 10111999 10095501
169 32996 10103750 10136746 5068373 5035377
172 82490 4041500 4123990 2061995 1979505
173 164980 2020750 2185730 1092865 927885
176 412450 808300 1220750 610375 197925
187 20002 16667500 16687502 8343751 8323749
188 40004 8333750 8373754 4186877 4146873
191 100010 3333500 3433510 1716755 1616745
192 200020 1666750 1866770 933385 733365
195 500050 666700 1166750 583375 83325
206 30962 10767500 10798462 5399231 5368269
207 61924 5383750 5445674 2722837 2660913
210 154810 2153500 2308310 1154155 999345
211 309620 1076750 1386370 693185 383565

yangchuanju · 发表于 2022-12-12 04:35

80组正整数解按x重排
序号 y x
1 583375 83325
2 602375 171675
3 610375 197925
4 614525 210375
5 657941 315441
6 666725 333375
7 693185 383565
8 731309 448809
9 881725 666375
10 933385 733365
11 1004629 822129
12 1059007 887757
13 1092865 927885
14 1111955 950295
15 1154155 999345
16 1203863 1056363
17 1250743 1109493
18 1316795 1183455
19 1716755 1616745
20 1872383 1781133
21 1978195 1892055
22 2061995 1979505
23 2102665 2021835
24 2297101 2223351
25 2467705 2399205
26 2533585 2466915
27 2722837 2660913
28 2978545 2922045
29 3891785 3848715
30 4186877 4146873
31 4585145 4548645
32 4884035 4849785
33 5068373 5035377
34 5171791 5139459
35 5399231 5368269
36 5665315 5635815
37 5914715 5886465
38 6263959 6237291
39 8343751 8323749
40 9142915 9124665
41 9684239 9667011
42 10111999 10095501
43 10319333 10303167
44 11308505 11293755
45 12174125 12160425
46 12507917 12494583
47 14757125 14745825
48 19355557 19346943
49 22838125 22830825
50 24337975 24331125
51 28255775 28249875
52 29505775 29500125
53 45670775 45667125
54 56507125 56504175
55 60837745 60835005
56 66677917 66675417
57 73758505 73756245
58 114173105 114171645
59 121673435 121672065
60 133353959 133352709
61 141264715 141263535
62 147515315 147514185
63 228345115 228344385
64 282528545 282527955
65 304182149 304181601
66 333383585 333383085
67 368787101 368786649
68 570862021 570861729
69 608363887 608363613
70 666766795 666766545
71 706320743 706320507
72 737573863 737573637
73 1141723823 1141723677
74 1412641309 1412641191
75 1666916725 1666916625
76 3333833375 3333833325
77 8334583385 8334583365
78 16669166755 16669166745
79 41672916877 41672916873
80 83345833751 83345833749

费尔马1 · 发表于 2022-12-13 20:17

yangchuanju 发表于 2022-12-12 04:35
80组正整数解按x重排
序号 y x
1 583375 83325

感谢老师解答！分数解也使方程成立，不是正整数，舍去。
负整数解直接去掉负号即可，不知道老师收录负整数解了吗，如果没有收录，请添上，这样解就更多了。

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