程氏函数不定方程之aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)

费尔马1

程氏函数不定方程之aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)
山东省兰陵县磨山镇华二村 程中战 2022-12-15

解函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)
其中一组通解公式为：
X=2^(8n^2+6n-4)*a^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+11]*b^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+9]*c^[(16n^2+28n+12)k+16n^2+20n+4]*uv*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+8n^2+6n]* [u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+16n+16]
Y=2^(8n^2+2n-3)*a^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+6]*b^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+4]*c^[(16n^2+20n+6)k+16n^2+12n+2]*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+8n^2+2n+1]* [u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+16n+8]
Z=2^(4n^2+2n-2)*a^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+4]*b^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+3]*c^[(8n^2+12n+4)k+8n^2+8n+1]*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+4n^2+2n]* [u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+8n+6]
其中，n、u、v为正整数，k为0或正整数，u＞v

费尔马1

1#楼的通解公式经检验，完全正确。  

费尔马1

总之，函数不定方程是创新，以前没有人提出过这个名词，也没有人解出过具体的这方面的例题。老师们说，是不是啊？

lusishun

函数不定方程（程式方程）是一个刚刚开辟的新领域。是不定方程的延伸与发展。

yangchuanju

解函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)
其中一组通解公式为：
X=2^(8n^2+6n-4)
*a^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+11]
*b^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+9]
*c^[(16n^2+28n+12)k+16n^2+20n+4]
*uv
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+8n^2+6n]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+16n+16]

Y=2^(8n^2+2n-3)
*a^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+6]
*b^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+4]
*c^[(16n^2+20n+6)k+16n^2+12n+2]
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+8n^2+2n+1]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+16n+8]

Z=2^(4n^2+2n-2)
*a^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+4]
*b^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+3]
*c^[(8n^2+12n+4)k+8n^2+8n+1]
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+4n^2+2n]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+8n+6]
其中，n、u、v为正整数，k为0或正整数，u＞v

仅对费尔马1的通解分了一下行，从分行后的表达式来看，X、Y、Z解表达式分别由8、6、6个因子组成，每个因子又都是复杂的指数式，各含有a,b,c,u,v,k六个不同的参变量，谁人也记不住，电脑恐怕也难以识别。
估计除了鲁先生给了个赞，杨给予分了一下行外，恐怕很少再有人阅读。
检验肯定异常繁杂，恕不复检！

lusishun

取a=b=c=n=1，则方程是：
X^3+Y^4=Z^7，

lusishun

lusishun 发表于 2022-12-16 02:35
取a=b=c=n=1，则方程是：
X^3+Y^4=Z^7，

（2^16）^3+（2^12）^4=（2^7）^7，
所以，
     X=2^16，Y=2^12，Z=2^7.

lusishun

lusishun 发表于 2022-12-16 02:44
（2^16）^3+（2^12）^4=（2^7）^7，
所以，
     X=2^16，Y=2^12，Z=2^7.

由此会有一组通解。

lusishun

lusishun 发表于 2022-12-16 02:35
取a=b=c=n=1，则方程是：
X^3+Y^4=Z^7，

取a=3，b=2，c=1，n=2时，方程是
3X^5+2Y^6=Z^11.

cuikun-186

费马定理-崔坤公式：
（3^(n-1)）^3+(2*3^(n-1))^3=3^(3n-1)
注释：n为非0自然数。

推导如下：
因为：
1/3^3+8/3^3=9/3^3，
那么当n为非0自然数时，上式分别乘以3^3n，
（3^3n）*1/3^3+（3^3n）*8/3^3=（3^3n）*9/3^3

即：（3^(n-1)）^3+(2*3^(n-1))^3=3^(3n-1)

例如：
1^3+2^3=3^2
3^3+6^3=3^5
9^3+18^3=9^4
27^3+54^3=3^11
81^3+162^3=3^14
243^3+486^3=3^17

729^3+1458^3=3^20

2187^3+4374^3=3^23

6561^3+13122^3=3^26

19683^3+39366^3=3^29

作者：老顽童崔坤 https://www.bilibili.com/read/cv12791037 出处：bilibili

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