奇妙的三角形

yangchuanju · 发表于 2022-12-16 06:01

奇妙的三角形
角度等差三角形
在收集整理勾股数组的过程中，无意间发现几组涉及三角形的三个角度等差：
B-A=C-B，且该三角形的三条边都是互素的正整数，奇妙不奇妙？

随意给出三个正数a,b,c，只要a+b>c，就能构成一个三角形，三个角度随着确定；
单独要求三角形的三个角度成等差也不难，画出一个60度的平面角，在其两边上任意各取一个点，用直线联结起来就是一个角度等差三角形。
在60度平面角的两边上分别取两列整数点，两两相连，连线还是整数吗？
按照三角形余弦定理有：c^2=a^2+b^2-2ab*cos(60°)=a^2+b^2-ab，
下一步就是要寻找a^2+b^2-bc中的平方数了，再向下还要找出其中的互素数，
题目虽不难，但挺繁琐的。

偷会懒吧，OEIS网站已经做过了上述各项繁琐的工作，直接给出了相关数据。
A335893给出这些奇妙三角形的三边数组，该类三角形的角B全都等于60度，角A小于60度是锐角不必多说，角C是锐角或钝角，但不会是直角；
（30+60+90度的直角三角形的短边等于1时，斜边等于2，中边等于1.732…，不是整数。）
A335894、A335895、A33589/6、A335897分别给出这些三角形的短边、中边、长边和周长的整数值。
现推荐给网友，请欣赏！

yangchuanju · 发表于 2022-12-16 06:04

56个角等差三角形边长——角B全等于60度。
序号短边a 中边b 长边c A B C 角度差
1 3 7 8 21.7868 60 98.2132 38.2132
2 5 7 8 38.2132 60 81.7868 21.7868
3 7 13 15 27.7958 60 92.2042 32.2042
4 8 13 15 32.2042 60 87.7958 27.7958
5 5 19 21 13.1736 60 106.8264 46.8264
6 16 19 21 46.8264 60 73.1736 13.1736
7 11 31 35 17.8966 60 102.1034 42.1034
8 24 31 35 42.1034 60 77.8966 17.8966
9 7 37 40 9.4300 60 110.5700 50.5700
10 33 37 40 50.5700 60 69.4300 9.4300
11 13 43 48 15.1782 60 104.8218 44.8218
12 35 43 48 44.8218 60 75.1782 15.1782
13 16 49 55 16.4264 60 103.5736 43.5736
14 39 49 55 43.5736 60 76.4264 16.4264
15 9 61 65 7.3410 60 112.6590 52.6590
16 56 61 65 52.6590 60 67.3410 7.3410
17 32 67 77 24.4327 60 95.5673 35.5673
18 45 67 77 35.5673 60 84.4327 24.4327
19 17 73 80 11.6351 60 108.3649 48.3649
20 63 73 80 48.3649 60 71.6351 11.6351
21 40 79 91 26.0078 60 93.9922 33.9922
22 51 79 91 33.9922 60 86.0078 26.0078
23 11 91 96 6.0090 60 113.9910 53.9910
24 85 91 96 53.9910 60 66.0090 6.0090
25 19 91 99 10.4174 60 109.5826 49.5826
26 80 91 99 49.5826 60 70.4174 10.4174
27 55 97 112 29.4093 60 90.5907 30.5907
28 57 97 112 30.5907 60 89.4093 29.4093
29 40 103 117 19.6529 60 100.3471 40.3471
30 77 103 117 40.3471 60 79.6529 19.6529
31 24 109 119 10.9927 60 109.0073 49.0073
32 95 109 119 49.0073 60 70.9927 10.9927
33 13 127 133 5.0858 60 114.9142 54.9142
34 120 127 133 54.9142 60 65.0858 5.0858
35 23 133 143 8.6132 60 111.3868 51.3868
36 120 133 143 51.3868 60 68.6132 8.6132
37 65 133 153 25.0397 60 94.9603 34.9603
38 88 133 153 34.9603 60 85.0397 25.0397
39 69 139 160 25.4611 60 94.5389 34.5389
40 91 139 160 34.5389 60 85.4611 25.4611
41 56 151 171 18.7340 60 101.2660 41.2660
42 115 151 171 41.2660 60 78.7340 18.7340
43 25 157 168 7.9265 60 112.0735 52.0735
44 143 157 168 52.0735 60 67.9265 7.9265
45 75 163 187 23.4831 60 96.5169 36.5169
46 112 163 187 36.5169 60 83.4831 23.4831
47 15 169 176 4.4085 60 115.5915 55.5915
48 161 169 176 55.5915 60 64.4085 4.4085
49 104 181 209 29.8417 60 90.1583 30.1583
50 105 181 209 30.1583 60 89.8417 29.8417
51 32 193 207 8.2556 60 111.7444 51.7444
52 175 193 207 51.7444 60 68.2556 8.2556
53 56 199 221 14.1054 60 105.8946 45.8946
54 165 199 221 45.8946 60 74.1054 14.1054
55 29 211 224 6.8360 60 113.1640 53.1640
56 195 211 224 53.1640 60 66.8360 6.8360
…………

费尔马1 · 发表于 2022-12-16 06:54

老师您好：这个问题学生早就解决了，文章就在本论坛，称类勾股数，因时间关系，我就不找这个帖子了。

yangchuanju · 发表于 2022-12-16 09:38

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-16 18:08 编辑

再来一组奇妙的三角形
两中线垂直的整数边三角形
设有一个三角形ABC，三条中线分别为AD、BE、CF，三条中线相交于点N（重心）；
三条边分别为a、b、c；三个角分别为A、B、C。
根据三角形余弦定理：
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA, b^2=a^2+c^2-2ac*cosB, c^2=a^2+b^2-2ab*cosC：
三条中线长分别等于：
AD=(a^2/4+c^2-ac*cosB)^0.5=(a^2/4+b^2+ab*cosC)^0.5;
BE=(b^2/4+c^2-bc*cosA)^0.5=(b^2/4+a^2-ab*cosC)^0.5;
CF=(c^2/4+a^2-ac*cosB)^0.5=(c^2/4+b^2-bc*cosA)^0.5。
三条中线与三条边的夹角分别等于：
AD与BC夹角1的余弦等于(a^2/4+AD^2-b^2)/(a*AD)=-(a^2+AD^2-c^2)/(a*AD）
BE与AC夹角2的余弦等于(b^2/4+BE^2-a^2)/(b*BE)=…
AD、BE夹角等于360-角C-夹角1-夹角2。
CF与AB夹角3的余弦等于(c^2/4+CF^2-b^2)/(c*CF)=…
CF、BE夹角等于360-角A-(180-夹角2)-夹角3。
当然还有一个AD、CF夹角，不再计算。

yangchuanju · 发表于 2022-12-16 09:40

两中线垂直的三角形作图比较麻烦，要做出三边都是正整数的三角形，更不容易；
幸亏OEIS网站对此进行了计算和整理，给出了相关数表网页，
A335034给出19个两中线垂直的三角形三边正整数值，
A335035、A335036、A335347、A335348分别给出相关三角形的周长、短边、中边、长边正整数值，
免得我们再苦苦寻找。
对相关数据进行计算得知，CF与BE之间的夹角都等于90度，表明a、c两边的中线互相垂直。
49个角中线垂直三角形边长
序号短边a 中边b 长边c A B C a中、b中夹角 b中、c中夹角
1 13 19 22 36.04 59.30 84.66 142.02 90
2 17 22 31 32.06 43.38 104.56 151.69 90
3 25 38 41 36.65 65.13 78.22 138.63 90
4 37 58 59 36.86 70.10 73.04 135.82 90
5 41 58 71 35.27 54.78 89.95 144.71 90
6 53 62 101 26.21 31.11 122.67 159.48 90
7 61 82 109 33.63 48.12 98.25 148.76 90
8 65 79 122 28.75 35.77 115.48 156.50 90
9 85 118 149 34.73 52.27 93.01 146.22 90
10 89 121 158 34.04 49.56 96.40 147.87 90
11 101 139 178 34.45 51.13 94.42 146.91 90
12 109 122 211 22.62 25.50 131.88 163.13 90
13 113 142 209 30.63 39.81 109.57 153.94 90
14 145 178 271 29.34 36.98 113.68 155.73 90
15 145 191 262 32.83 45.57 101.60 150.33 90
16 149 229 242 36.75 66.87 76.37 137.64 90
17 157 179 302 24.22 27.89 127.88 161.57 90
18 173 269 278 36.83 68.76 74.41 136.57 90
19 181 218 341 28.19 34.67 117.14 157.20 90
20 185 202 361 20.17 22.12 137.71 165.34 90
21 193 241 358 30.29 39.04 110.67 154.42 90
22 197 251 362 31.32 41.48 107.19 152.88 90
23 221 262 419 27.15 32.75 120.10 158.43 90
24 229 341 382 36.37 62.02 81.61 140.43 90
25 233 311 418 33.36 47.22 99.42 149.31 90
26 241 298 449 29.75 37.85 112.39 155.17 90
27 257 319 478 29.97 38.32 111.72 154.88 90
28 265 398 439 36.50 63.30 80.20 139.69 90
29 269 398 451 36.27 61.07 82.66 140.98 90
30 281 302 551 18.37 19.80 141.83 166.86 90
31 277 389 482 35.07 53.79 91.14 145.30 90
32 289 319 562 21.29 23.63 135.08 164.35 90
33 293 421 502 35.67 56.91 87.42 143.44 90
34 313 362 599 25.36 29.70 124.94 160.40 90
35 317 458 541 35.79 57.68 86.53 142.98 90
36 337 401 638 27.40 33.20 119.40 158.14 90
37 349 418 659 27.83 34.00 118.17 157.63 90
38 365 418 701 24.59 28.46 126.96 161.20 90
39 365 509 638 34.87 52.86 92.27 145.86 90
40 377 538 649 35.50 55.97 88.53 144.00 90
41 377 569 622 36.57 64.05 79.39 139.26 90
42 389 491 718 30.86 40.34 108.80 153.60 90
43 397 422 781 16.98 18.08 144.94 167.99 90
44 401 479 758 27.66 33.67 118.67 157.84 90
45 409 631 662 36.78 67.48 75.73 137.29 90
46 421 478 811 23.88 27.36 128.76 161.91 90
47 433 671 698 36.81 68.20 74.99 136.88 90
48 445 589 802 33.03 46.17 100.80 149.96 90
49 461 499 902 19.21 20.86 139.93 166.16 90

yangchuanju · 发表于 2022-12-16 15:22

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-16 18:09 编辑

舍近求远了，其实三角形三条中线的交点是三角形的重心，
重心三等分中线，即重心位于中线的三分之一处，一端长1/3，另一端长2/3。
若已经求出了中线长，取两中线长的2/3，与三角形第三边构成一个小三角形，三边已知，夹角立即可求。

设三角形ABC，三条中线分别为AD、BE、CF，三条中线相交于点N（重心）；
三条边分别为a、b、c；三个角分别为A、B、C。
根据三角形余弦定理：
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA, b^2=a^2+c^2-2ac*cosB, c^2=a^2+b^2-2ab*cosC：
三条中线长分别等于：
AD=(a^2/4+c^2-ac*cosB)^0.5=(a^2/4+b^2+ab*cosC)^0.5;
BE=(b^2/4+c^2-bc*cosA)^0.5=(b^2/4+a^2-ab*cosC)^0.5;
CF=(c^2/4+a^2-ac*cosB)^0.5=(c^2/4+b^2-bc*cosA)^0.5。

在三角形BCN中，cos(BNC)=(BN^2+CN^2-a^2)/(2*BN*CN)，
两中线夹角取反余弦即得。

yangchuanju · 发表于 2022-12-16 15:22

49个角中线垂直三角形边长
序号短边a 中边b 长边c a边中线 b边中线 c边中线 cosBNC b中、c中夹角
1 13 19 22 19.50 15.37 12.00 0.00 90.00
2 17 22 31 25.50 22.45 12.09 0.00 90.00
3 25 38 41 37.50 28.14 24.78 0.00 90.00
4 37 58 59 55.50 39.80 38.68 0.00 90.00
5 41 58 71 61.50 50.20 35.53 0.00 90.00
6 53 62 101 79.50 74.46 27.86 0.00 90.00
7 61 82 109 91.50 78.23 47.46 0.00 90.00
8 65 79 122 97.50 89.41 38.88 0.00 90.00
9 85 118 149 127.50 105.98 70.88 0.00 90.00
10 89 121 158 133.50 113.06 70.99 0.00 90.00
11 101 139 178 151.50 126.93 82.70 0.00 90.00
12 109 122 211 163.50 156.46 47.46 0.00 90.00
13 113 142 209 169.50 152.26 74.47 0.00 90.00
14 145 178 271 217.50 198.27 89.41 0.00 90.00
15 145 191 262 217.50 188.98 107.67 0.00 90.00
16 149 229 242 223.50 165.14 150.60 0.00 90.00
17 157 179 302 235.50 223.42 74.46 0.00 90.00
18 173 269 278 259.50 188.46 178.39 0.00 90.00
19 181 218 341 271.50 250.28 105.22 0.00 90.00
20 185 202 361 277.50 268.46 70.24 0.00 90.00
21 193 241 358 289.50 261.12 125.00 0.00 90.00
22 197 251 362 295.50 263.01 134.70 0.00 90.00
23 221 262 419 331.50 308.29 121.87 0.00 90.00
24 229 341 382 343.50 264.79 218.81 0.00 90.00
25 233 311 418 349.50 300.54 178.39 0.00 90.00
26 241 298 449 361.50 328.09 151.80 0.00 90.00
27 257 319 478 385.50 349.04 163.66 0.00 90.00
28 265 398 439 397.50 303.10 257.17 0.00 90.00
29 269 398 451 403.50 313.50 254.03 0.00 90.00
30 281 302 551 421.50 410.46 95.82 0.00 90.00
31 277 389 482 415.50 341.61 236.52 0.00 90.00
32 289 319 562 433.50 417.42 116.96 0.00 90.00
33 293 421 502 439.50 353.01 261.81 0.00 90.00
34 313 362 599 469.50 442.29 157.50 0.00 90.00
35 317 458 541 475.50 379.66 286.28 0.00 90.00
36 337 401 638 505.50 469.15 188.21 0.00 90.00
37 349 418 659 523.50 484.11 199.23 0.00 90.00
38 365 418 701 547.50 518.30 176.42 0.00 90.00
39 365 509 638 547.50 453.17 307.23 0.00 90.00
40 377 538 649 565.50 457.50 332.39 0.00 90.00
41 377 569 622 565.50 428.45 369.09 0.00 90.00
42 389 491 718 583.50 522.64 259.46 0.00 90.00
43 397 422 781 595.50 582.46 123.92 0.00 90.00
44 401 479 758 601.50 557.07 226.89 0.00 90.00
45 409 631 662 613.50 450.80 416.12 0.00 90.00
46 421 478 811 631.50 600.30 196.04 0.00 90.00
47 433 671 698 649.50 474.12 443.92 0.00 90.00
48 445 589 802 667.50 577.83 334.17 0.00 90.00
49 461 499 902 691.50 671.43 165.41 0.00 90.00

yangchuanju · 发表于 2022-12-16 15:23

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-16 15:25 编辑

因为三角形的三条中线相交于重心，加上重心三等分中线，故可作图如下：
1、任意画两条互相垂直的直线段DN和EN，令交点N在上，DN、EN一条斜向左下方，一条斜向右下方；
2、向右上方延长DN至A，令NA等于2DN；向左上方延长EN至B，令NB等于2EN；
3、联结AB两点，DE两点；
4、分别过AE和BD画两条直线相交于点C，倒立的三角形ABC即是一个具有两条互相垂直直线的三角形。

在三角形DEN和三角形ABN中，两三角形相似，BA=2DE，BA平行于DE，则DE是三角形ABC的一条中位线；
在大三角形ABC中，AC=2AE，BC=2BD，AD和BE是大三角形的两条垂直中线。

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