在 RtΔCAB 中，∠A=90°，角平分线 AF,BE,CD 交于内心 I，CE=15，BD=10，求 AI

uk702

如图，Rt△CAB 中，∠CAB=90°，AE、CD 分别为 ∠B、∠C 的角平分线，AE、CD 相交于 I。若 CE=15，BD = 10，求 AI。

王守恩

     三角函数解题有那么困难吗？  记 ∠ ICA = a,  4个未知数4个方程。

Solve[{10/Sin[Pi/4] = IB/Cos[a], IB/Sin[Pi/4] = IA/Sin[Pi/4 - a],
           15/Sin[Pi/4] = IC/Cos[Pi/4 - a], IC/Sin[Pi/4] = IA/Sin[a],

{{a -> -2 ArcTan[3 - Sqrt[10]], IA -> 6 Sqrt[2], IB -> 6 Sqrt[5],  IC -> 6 Sqrt[10]}}

化简一下。 2个未知数2个方程。

Solve[{IA = (10 Cos[a] Sin[Pi/4 - a])/Sin[Pi/4]^2 = (15 Sin[a] Cos[Pi/4 - a])/Sin[Pi/4]^2,

{{a -> -2 ArcTan[3 - Sqrt[10]], IA -> 6 Sqrt[2]}}

再化简。

uk702

王守恩 发表于 2022-12-16 19:30
三角函数解题有那么困难吗？  记 ∠ ICA = a,  4个未知数4个方程。

Solve[{10/Sin = IB/Cos[a], IB ...

最后的式子倒是挺漂亮，不知能不能手工解。毕竟是初中生给过来的一道考题，给难住了。

IA/2 = 10 cos(α) sin(45°-α) = 15 sin(α) cos(45°-α)

kanyikan

希望看到更简单的方法。

luyuanhong

王守恩

uk702 发表于 2022-12-16 20:04
最后的式子倒是挺漂亮，不知能不能手工解。毕竟是初中生给过来的一道考题，给难住了。

IA/2 = 10 co ...

再化简就是太简单，通通吃了。

\(IA=\frac{n*m*\sqrt{2}}{n+m}\ \ \ \ n=10,\ \ m=15,\ \ \ n,m\ 可以是任意正数。\)

uk702

多谢大家，各位的解答都比我的强。我磨了整整一天，勉强整了个解答。

uk702

题目来源估计是经典的：

若  \( \tan\alpha=\frac{1}{2} ，\ \tan\beta=\frac{1}{3} \) 则 \( \alpha+\beta=45° \)

从这方面想不知能否构造出几何含义的证法。

uk702

kanyikan 发表于 2022-12-17 00:51
希望看到更简单的方法。

你这个解答很好！进一步可简化为：

设 IG 为 △BCI 的高，算出 x=9, y=8 之后，知 BC=24, AC=18, AB=30（勾股定理）

一方面 \(S_{△ABC} = 1/2 × 24 × 18 = 216 \)，
另一方面  \( S_{△ABC} =S_{△ABI} + S_{△BCI} + S_{△CAI} = 1/2 × (AB+ BC+ CA) × IG \)，解得 IG = 6 。

∴ \( IC=6\sqrt{2} \)

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解答很好！已收藏。