关于单调递增集合的极限的三个问题

wufaxian

《概率引论》何书元P18

请看下图红线部分单调增的集合序列\(\left\{ A_j\right\}\) 的极限是\(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\)

1、\(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\) 是极限的理由有点看不懂。哪位老师可以解释一下作者的前面理由为什么可以成为证明极限的依据？

2、我现在头脑当中的知识能想到的办法就是设法证明\(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\) 是\(\left\{ A_j\right\}\)的上极限，同时也是下极限。但是不知道如何证明。老师可否提供一下简单的证明步骤？

3、或者还有其他证明思路么？

liangchuxu

极限是包含所有事件的集合

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-12-28 19:36
极限是包含所有事件的集合

谢谢讲解。
第二条红线前面陈述的都是事实，但是“所以”两个字很突然。我看不出“所以”前面陈述的事实，与第二条红线的内容有因果关系。
其中的因果关系老师可否解释一下。

liangchuxu

wufaxian 发表于 2022-12-29 03:32
谢谢讲解。
第二条红线前面陈述的都是事实，但是“所以”两个字很突然。我看不出“所以”前面陈述的事实 ...

承认前面事实，意味着和集与极限集合是相等的。它们互相包含。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-12-28 19:36
极限是包含所有事件的集合

关于二楼的答案我想了想。有几点不太明白。
1、反之，任意\(A_k\subset\bigcup_{ }^{\infty}\)   ,这个“反之”是什么意思？
2、要得到最终结论\(A=\bigcup_{ }^{\infty}\)  那么需要这两个集合互为子集。但是证明过程中没有看到\(\bigcup_{ }^{\infty}\subset A\) 的结论。那么\(A=\bigcup_{ }^{\infty}\)  为什么成立呢？

liangchuxu

关于单调递增集合的极限