作矩形 ABCD，P,Q 是 BC,CD 上动点，BP/BC=CQ/CD，则 AP 与 BQ 交点的轨迹是半个椭圆

dodonaomikiki

【资料】等分线的交点轨迹，构成一个椭圆【好神奇】

取一正方形
横边10等分，纵边20等分
形成系列交线
交点轨迹便是一个椭圆

给出示意图

dodonaomikiki

下面只做试试性验证说明，
不作严禁证明！

   
\(        L2A:   连接（-0.6,1）（1,0）       \)
\(        L2B:   连接（1，0.8）（-1,0）       \)
显然这个椭圆轨迹：
\(        \Gamma:   \frac{x^2}{1^2}+ \frac{y^2}{( \frac{1}{2})^2}=1       \)


\(        L2A:     \frac{y}{x-1} =\frac{1}{-0,6-1}= \frac{1}{-1.6}       \)
\(        \Longrightarrow    -1,6y=x-1       \)
\(        \Longrightarrow      x+1.6y-1=0       \)

\(        L2B:     \frac{y}{x+1} =\frac{0.8}{1+1}=0,8       \)
\(        \Longrightarrow    2y=0,8x+0,8       \)
\(        \Longrightarrow      0.8x-2y+0.8=0       \)


于是乎，\(    L2A与L2B有一个交点       \)
\(        0.8（1-1.6y）-2y+0.8=0       \)
\(        \Longrightarrow    y= \frac{20}{41}        \)
\(        \Longrightarrow        x= \frac{9}{41}       \)
代入椭圆方程，神奇的很，成立  

dodonaomikiki

再来验证一个交点



   
\(        L3A:   连接（0.4,1）（1,0）       \)
\(        L3B:   连接（1，0.3）（-1,0）       \)
显然这个椭圆轨迹：
\(        \Gamma:   \frac{x^2}{1^2}+ \frac{y^2}{( \frac{1}{2})^2}=1       \)


\(        L3A:     \frac{y}{x-1} =\frac{1}{0,4-1}= \frac{1}{-1.6}       \)
\(        \Longrightarrow    -0,6y=x-1       \)
\(        \Longrightarrow      x+0.6y-1=0       \)

\(        L2B:     \frac{y}{x+1} =\frac{0.3}{2}       \)
\(        \Longrightarrow    2y=0,3x+0,3       \)
\(        \Longrightarrow      0.3x-2y+0.3=0       \)


\(  Insert    \qquad      L3A   \qquad     into     \qquad     L3B      \)
\(        0.3（1-0.6y）-2y+0.3=0       \)
\(        \Longrightarrow    y= \frac{30}{109}        \)
\(        \Longrightarrow        x= \frac{91}{109}       \)
代入\( ellipse       \qquad          \Gamma，       \)得到验证  

yeyucaiji

这如果用解析几何证必然要大量算，因为如题所得的实际上是40个点，不能通过解方程得到那个椭圆标准式，所以用椭圆定义才能严谨证出椭圆方程

dodonaomikiki

发现有些跟帖，
空谈连篇！
实际上，一步计算都不会搞构成了浮躁的社会氛围！
乱谈一起，一群懒龟沆瀣一气形成污秽

yeyucaiji

你得到的就是40个点，都不是个椭圆，要算就把40个点分别求出来然后k1k2=e^2-1来证明它们在哪个椭圆上，你的条件就是不能严谨直接证出椭圆方程，怎么算？所以说要靠定义做。而且提出观点不是乱说吧。40个点你慢慢算啊

dodonaomikiki

说的很号！


继续说！

dodonaomikiki

原始的动图，
在这里，
很真切！

elim

的确神奇，谢谢楼主分享。 证明如下：

uk702

和这个有异曲同工之处。
zhuanlan.zhihu.com/p/389900638