几何学命题的物理意义

luyuanhong

几何学命题的物理意义

中国科学院数学与系统科学研究院 2023-01-05 10:53 发表于北京


图 1 爱因斯坦

本书[1]的大多数读者，在你们学生时代都熟悉欧几里得几何的雄伟建筑，你们也许会以一种敬多于爱的心情记起这个壮丽的结构，在它的巍峨的阶梯上，你们曾被严谨的教师追逐过无数时间。由于你们过去的经验，要是有谁断定说这门科学中的那怕是最冷僻的命题是不真的，你们就一定会嗤之以鼻。但要是有人问你们：“你们断言这些命题是真的，这究竟指的是什么意思呢？”也许你们马上就会失这种高傲的自信感。让我们对这个问题稍加考查。

几何学是从某些像“平面”、“点”、“直线”之类的概念以及某些简单的命题（公理）出发的。对于这类概念，我们能够联想起一些大致确定的观念，而由于这些观念，我们有意承认这些简单命题是“真的”。于是，根据一种我们不得不认为是正当的逻辑程序，其余一切命题就都可以从这些公理推论出来，那就是说它们得到了证明。一个命题只要是按公认的方法从公理推导出来的，那么它就是正确的（“真的”）。几何学各个命题的“真理性”问题，因此就归结为公理的“真理性”问题。很久以来人们就知道，后一问题不仅是几何方法所不能回答的，而且它本身是根本没有意义的。我们不能问“通过两点只能有一条直线”这一命题是不是真的，我们只能说，欧几里得几何讨论一些叫做“直线”的东西，每一条直线的性质可由线上的两点唯一地确定下来。“真”这一概念不适合于纯粹几何学的断言，因为“真”这个词，习惯上我们归根结底总是指那种同“实在”客体的对应关系；可是几何学并不研究它所涉及的观念同经验客体之间的关系，而只研究这些观念本身之间的逻辑联系。


图 2 欧几里得

尽管如此，我们还是感到不得不说几何学的命题是“真的”，其原因不难理解。几何观念所对应的是自然界里或多或少确定的客体，这些客体无疑是产生那些观念的唯一源泉。几何学为了要使它的结构得到最大可能的逻辑统一性，应当不走这样的路线。比如用实际刚体上的两个做了记号的位置来观测“距离”，这在我们的思想习惯中是根深蒂固的。又如我们用一只眼睛去看三个点，在适当选取的观察位置上，这三个点的表观位置重合在一起。在习惯上我们也就把这三个点看作是在一条直线上。

如果，依照我们的思想习惯，现在在欧几里得几何的命题之外，再补充这样一条命题：一个实际刚体上的两个点总是对应着同一距离（直线间隔），这距离同我们所能加给刚体的任何位置变化无关。那么，欧几里得几何的命题就可最后归结为关于实际刚体的可能相对位置的命题了。加以这样补充的几何学，因而也就被看作是物理学的一个分支。对于作了这样解释的几何学命题，我们现在也就可以合法地问它“真理性”的问题了，因为我们有理由问：对于那些使我们联想起几何观念的实在事物，这些命题是否得到满足。用不大严格的说法来表达，我们可以这样说；在这个意义上，几何命题的“真理性”问题，依我们的理解，就是它对于用直尺和圆规所作的图形是否有效的问题。

当然，在这个意义上，关于几何命题的“真理性”的信念，完全是建立在一种不大完善的经验上的。目前，我们姑且假定几何命题的“真理性”，以后（在广义相对论中）我们会看到这种“真理性”是有局限性的，我们还要考查它的局限性的范围。

注

[1] 这是爱因斯坦于 1916 年写的小册子《狭义与广义相对论浅说》中的第一节。该书德文本系 1917 年出第一版，至 1922 年已出到第 40 版。二十年代，世界各国前后出了十来种文字的译本。1922 年 4 月商务印书馆也出过中文译本，书名为《相对论浅释》，译者夏元瑮。1964 年 5 月上海科学技术出版社又出版了新译本，书名《狭义与广义相对论浅说》，杨润殷译，胡刚复校。这里转译自劳孙（Robert W.Lawson）的英译本第 17 版（Relativity，the Special and the General Theory：A Popular Exposition，伦敦Methuen公司出版，1957年）1-4 页。译时曾参考上述两个中译本。

来源：数学经纬网