如何通俗解释欧拉公式？

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如何通俗解释欧拉公式？

作者：马同学

文章转载自微信公众号 | 马同学图解数学



欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。形式简单，结果惊人，欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上，看来必须好好推敲一番。

1 复数

在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。

1.1 i 的由来

i=√-1 ，这个就是 i 的定义。虚数的出现，把实数数系进一步扩张，扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了，虚数只好向二维要空间了。

可是，这是最不能让人接受的一次数系扩张，听它的名字就感觉它是“虚”的：

● 从自然数扩张到整数：增加的负数可以对应“欠债、减少”

● 从整数扩张到有理数：增加的分数可以对应“分割、部分”

● 从有理数扩张到实数：增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度（√2）”

● 从实数扩张到复数：增加的虚数对应什么？

虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。



要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根，但是在当时并不知道，所以开始思考复数到底是什么？

我们认为虚数可有可无，虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物，只在形式上被定义，但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在，并且成为重要的分支。

1.2 复平面上的单位圆

在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：





我们来动手玩玩单位圆：



1.3 复平面上乘法的几何意义



同样来感受一下：



2 欧拉公式



欧拉公式在形式上很简单，是怎么发现的呢？

2.1 欧拉公式与泰勒公式



2.2 对同一个点不同的描述方式





2.3 为什么 e^(iθ) 是圆周运动？



















2.4 2^i 的几何含义是什么？



2.5 欧拉公式与三角函数







2.6 欧拉恒等式



数学经纬网 2023-01-03 22:00 发表于湖南