如何通俗地理解卷积？

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如何通俗地理解卷积？

作者：马同学

文章来源：马同学图解数学

从数学上讲，卷积就是一种运算。

某种运算，能被定义出来，至少有以下特征：

● 首先是抽象的、符号化的

● 其次，在生活、科研中，有着广泛的作用

比如加法：

● a+b ，是抽象的，本身只是一个数学符号

● 在现实中，有非常多的意义，比如增加、合成、旋转等等

卷积，是我们学习高等数学之后，新接触的一种运算，因为涉及到积分、级数，所以看起来觉得很复杂。

1 卷积的定义



只看数学符号，卷积是抽象的，不好理解的，但是，我们可以通过现实中的意义，来习惯卷积这种运算，正如我们小学的时候，学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。

我们来看看现实中，这样的定义有什么意义。

2 丢骰子

我有两枚骰子：



把这两枚骰子都抛出去：



求：两枚骰子点数加起来为 4 的概率是多少？

我们把骰子各个点数出现的概率表示出来：



那么，两枚骰子点数加起来为 4 的情况有：









3 图像处理

3.1 原理

有这么一副图像，可以看到，图像上有很多噪点：



高频信号，就好像平地耸立的山峰：



看起来很显眼。

平滑这座山峰的办法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周围去。用数学的话来说，就是把山峰周围的高度平均一下。

平滑后得到：



卷积可以帮助实现这个平滑算法。

3.2 计算

有噪点的原图，可以把它转为一个矩阵：



然后用下面这个平均矩阵（说明下，原图的处理实际上用的是正态分布矩阵，这里为了简单，就用了算术平均矩阵）来平滑图像：



记得刚才说过的算法，把高频信号与周围的数值平均一下就可以平滑山峰。

比如我要平滑 a(1,1) 点，就在矩阵中，取出 a(1,1) 点附近的点组成矩阵 f ，和 g 进行卷积计算后，再填回去：



要注意一点，为了运用卷积，g 虽然和 f 同维度，但下标有点不一样：



我用一个动图来说明下计算过程：



写成卷积公式就是：



要求 c(4,5) ，一样可以套用上面的卷积公式。

这样相当于实现了 g 这个矩阵在原来图像上的划动（准确来说，下面这幅图把 g 矩阵旋转了 180°）：



数学经纬网 2023-01-07 21:34 发表于湖南