【答】【regular octagon闲暇游戏】怎样求出剩余的7个椭圆方程？

dodonaomikiki

已知：
\(\Gamma1:   x^2-xy+y^2=1\)


要求：
（1）椭圆主轴即为正八边形的边长
（2）  妥园的大小，都一样大

dodonaomikiki

wo的预先评估：
技术性很强，估计难度不会太大





方法设想：
应该不要运用焦点法，求解椭圆方程！
可能通过，\Gamma1  这个椭圆方程的中心点的平移或者旋转来求解，比较方便和可行

lihp2020

简单吧   1357  用原方程 对称性直接写

2 4  就用长轴 和 短轴   过定值顶点  来写
6 8 用2 4对称

这些对称 都是关于x=** 或者y=**  不是斜线 简单得很

dodonaomikiki

   \(\Gamma2\)   (原)本椭圆，移过来，  顺转45度     
\(\Gamma3\)    ~~~~~~~~~~~~~~~逆转90度
\(\Gamma4\) ~~~~~~~~~~~~~~~逆转45度




\(\Gamma5\) ~~~~~~~~~~~~~~~不转



\(\Gamma6\)~~~~~~~~~~~~~~~逆转45度
  \(\Gamma7\) ~~~~~~~~~~~~~~~逆转90度
\(\Gamma8\) ~~~~~~~~~~~~~~~逆转45度




在转动过程中，
就运用旋转公式
就是有点烦，
但说来，还是有点好玩







  

dodonaomikiki

过年之前，
解决掉伽马2，伽马3，伽马4，伽马5
年后，再来解决伽马6，伽马7，伽马8


并感谢，在口罩这个艰苦年头，
帮助俺的各位老师，内心崇敬不已！

dodonaomikiki

吧剩余的6,7,8三个椭圆，制作完成！



本身难度是没有的，
但是平移+旋转，比较烦躁！容易产生错误

dodonaomikiki

针对五楼的图形，
我一开始还产生了狐疑：
怎么交叉部分的面积，不一样啊？考虑到对称性，交叉部，应该一样大才是啊？
本来以为画错啦，
现在看来，
好项目有画错

dodonaomikiki

但是观察4号椭圆两边的交叉部，
发现重叠面积应该是一样的！




再考虑正八边形的对称性，
我觉得重叠部，交叉部面积应该一样大，
我估计自己在那里产生啦计算错误~~~~

creasson

对于一般的\(n\)边形顺时针的旋转, 设各顶点为\({A_k}\), 曲线上的点为\(Z_k\), 并记 \(\omega  = {e^{i\frac{{2\pi }}{n}}}\), 则根据旋转关系，有
\[\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {{A_k}{A_{k + 1}}}\limits^ \to   = {\omega ^{ - 1}}\mathop {{A_{k - 1}}{A_k}}\limits^ \to   \\
\mathop {{A_k}{Z_k}}\limits^ \to   = {\omega ^{ - 1}}\mathop {{A_{k - 1}}{Z_{k - 1}}}\limits^ \to   \\
\end{array} \right.\]
从而
\[\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {{A_k}{A_{k + 1}}}\limits^ \to   = {\omega ^{ - k}}\mathop {{A_0}{A_1}}\limits^ \to   \\
\mathop {{A_k}{Z_k}}\limits^ \to   = {\omega ^{ - k}}\mathop {{A_0}{Z_0}}\limits^ \to   \\
\end{array} \right.\]
根据第一式，得到各顶点的表示
\[{A_k} = {A_0} + \frac{{1 - {\omega ^{ - k}}}}{{1 - {\omega ^{ - 1}}}}\mathop {{A_0}{A_1}}\limits^ \to  \]
再根据第二式，得到旋转\(k\)次后的曲线上点的表示
\[{Z_k} = {A_0} + \frac{{1 - {\omega ^{ - k}}}}{{1 - {\omega ^{ - 1}}}}\mathop {{A_0}{A_1}}\limits^ \to   + {\omega ^{ - k}}\mathop {{A_0}{Z_0}}\limits^ \to  \]
反解出\(Z_0\):
\[{Z_0} = {A_0} + {\omega ^k}\mathop {{A_0}{Z_k}}\limits^ \to   - \frac{{{\omega ^k} - 1}}{{1 - {\omega ^{ - 1}}}}\mathop {{A_0}{A_1}}\limits^ \to  \]
对于本题的8边形而言：
\[{A_0} =  - 1 - i,{A_1} = 1 + i,\omega  = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i,{Z_0} = {x_0} + {y_0}i,Z = x + yi\]
其中\({Z_0}\)在椭圆\(x^2-x y +y^2 = 1\)上,  即有
\[{x_0} + {y_0}i =  - 1 - i + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)^k}(x + yi + 1 + i) - 2\frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)}^k} - 1}}{{1 - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)}}(1 + i)\]
分离实部和虚部，就得到\(k\)次变换. mathematica的计算截图如下：

好像搞反球了

creasson

一般的程序代码：

Clear["Global`"];
n = 8; \[Omega] = Exp[I*(2\[Pi])/n]; Subscript[A, 0] = -1 - I; Subscript[A, 1] = 1 + I; Z = x + y I;
Subscript[Z, 0] = Subscript[A, 0] + \[Omega]^k * (Z - Subscript[A, 0]) -(\[Omega]^k - 1)/(1 - \[Omega]^-1) * (Subscript[A, 1] - Subscript[A, 0]);
trans = (ReIm[#]//ComplexExpand//FullSimplify//Factor)&/@Table[Subscript[Z, 0], {k, 0, n-1}];
curve[x_, y_]:= x^2 - x y + y^2 -1;
newcurves = (curve[#[[1]], #[[2]]] // Factor)&/@trans;
Show[ContourPlot[# == 0, {x, -(n+2), (n+2)}, {y, -(n+2), (n+2)}]&/@ newcurves]

复制到Mathematica中运行，修改 n 值即可.