证明：若一个行列式中只有一行含 x ，则对行列式求关于 x 的导数，可以只对这一行求导

dodonaomikiki

内容来自两位老师【两位老师分别来自闽江学院+合肥工业大学】



已知：
            \(             xy=1(   x\succ0,   y\succ0)                    \)
           \(           A(a,\frac{1}{a}),B(b,\frac{1}{b})           \)



           \(           Set :T(   x,\frac{1}{x} ),  0   \prec   a   \preceq   x  \preceq    b           \)
           \(           \Longrightarrow      S _{ \blacktriangle   ATB}=f(x)           \)
           \(           =\frac{1}{2}   \bullet      \begin{vmatrix}     a&\frac{1}{a}&1\\ x & \frac{1}{x}  & 1\\ b & \frac{1}{b}&  1     \end{vmatrix}           \)


则           \(           f'(x)=\frac{1}{2}   \bullet      \begin{vmatrix}     a&\frac{1}{a}&1\\ 1 &- \frac{1}{x^2}  &0\\ b & \frac{1}{b}&  1     \end{vmatrix}           \)
           \(           =(b-a)(    \frac{1}{x^2} - \frac{1}{ab} )            \)  


号令           \(           f'(x)=0           \)
           \(           \Longrightarrow    x=\sqrt{ab},此乃f(x)の唯一驻点           \)

【意义不明？形成狐疑】对行列式第二行求导，第一次看到

dodonaomikiki

对行列式的第二行，求到的意义在哪里呢？

luyuanhong

dodonaomikiki

接下来，我想思考一哈：

这样一种形式的求导，有否几何意义蕴含其中？
如果有，
其几何意义是什么呢？

dodonaomikiki

回忆起来，针对一个函数，
其表现形式如果是一个曲线，其驻点就是极值点
那么，针对这个三角形，是不是也是三角形面积的极大值点呢？

dodonaomikiki

        具体设置一个三角形来玩一玩，
检验一哈，结论是否正确

dodonaomikiki

  \(       Set:   A(1/2, 2),   B(6,1/6),T(m,1/m)                           \)
易得直线   \(        L_{AB}:   2x+6y-13=0           \)
    T到AB的距离： \(     d=\frac{|2x+6y-13|}{\sqrt{4+36}}           \)




  \(       Set:   F=13-(2x+6/x)           \)
那么，如果F要取到最大，
  \(       \Longrightarrow    2x=6/x           \)
  \(       \Longrightarrow    x=\sqrt{3}           \)
\(   【-\sqrt{3}就舍掉啦】   \)  

这与行列式求导的结果，不谋而合也！
因势利导，
高级方法可信矣