函数型丢番图不定方程解结构探讨

yangchuanju

函数型丢番图不定方程解结构探讨
仿费尔马的解法，丢番图方程解的一般结构形式
无（1以外）系数的三元（2+1项）丢番图方程解可表示为1个底数2的幂形式，右端一项的指数比左端各项的指数高1次；
无（1以外）系数的四元（3+1项）丢番图方程解可表示为1个底数3的幂形式，右端一项的指数比左端各项的指数高1次；
无系数的三元丢番图方程解也可表示为3个底数的幂连乘积的形式，3个底数是一组勾股数，其中1项的指数比其余项的指数高2次；
无系数的四元丢番图方程解也可表示为4个底数的幂连乘积的形式，4个底数是a^2+b^2+c^2=d^2之abcd数，其中1项的指数比其余项的指数高2次；
猜想无系数的4元丢番图方程解可表示为4个底数的幂连乘积的形式，4个底数是a^3+b^3+c^3=d^3之abcd数，其中1项的指数比其余项的指数高3次。

左端各项系数不全为1的丢番图方程解可表示为1个底数（各系数和）的幂形式，右端一项的指数比左端各项的指数高1次；
带系数的3元丢番图方程解可表示为3+3个底数的幂连乘积的形式，3个底数是一组勾股数，其中1项的指数比其余项的指数高2次；
另3个底数为系数（系数1也算，但当底数为1时实际不用考虑该底数），其中1项的指数比其余项的指数低1次；
带系数的4元丢番图方程可表示为4+4个底数的幂连乘积的形式，4个底数是一组四元毕达哥拉斯数，其中1项的指数比其余项的指数高2次；
另4个底数为系数（系数1也算，但当底数为1时实际不用考虑该底数），其中1项的指数比其余项的指数低1次；
猜想带系数的4元丢番图方程可表示为4+4个底数的幂连乘积的形式，4个底数是a^3+b^3+c^3=d^3之abcd数，其中1项的指数比其余项的指数高3次。
另4个底数为系数（系数1也算，但当底数为1时实际不用考虑该底数），其中1项的指数比其余项的指数低1次。

无系数函数丢番图方程X^(2n+1)+Y^(2n+2)=Z^(2n+3)解的结构
（分别将各个指数用stu表示，以便结构简单。）
无系数的3元丢番图方程也可表示为3个底数的幂连乘积的形式，3个底数是a^2+b^2=c^2=之abc数，其中1项的指数比其余项的指数高2次；
对于方程X^s+Y^t=Z^u，3底数分别是a、b、c，
底数a的最终指数的周期部分都是lcm(stu)*k，XYZ项解的指数分别为lcm(stu)/s*k、lcm(stu)/t*k、lcm(stu)/u*k；
底数a的最终指数的非周期部分分别是[lcm(tu)*m1+2]、tu*m1/gcd(tu)、tu*m1/gcd(tu)；
XYZ项解的指数分别为[lcm(tu)*m1+2]/s、u*m1/gcd(tu)、t*m1/gcd(tu)。式中lcm(tu)*gcd(tu)=tu。

底数b的最终指数的周期部分都是lcm(stu)*k，XYZ项解的指数分别为lcm(stu)/s*k、lcm(stu)/t*k、lcm(stu)/u*k；
底数b的最终指数的非周期部分分别是[su*m2/gcd(su)、lcm(su)*m2+2]、su*m2/gcd(su)；
XYZ项解的指数分别为[u*m2/gcd(su)、lcm(su)*m2+2]/t、t*m2/gcd(su)。

底数c的最终指数的周期部分都是lcm(stu)*k，XYZ项解的指数分别为lcm(stu)/s*k、lcm(stu)/t*k、lcm(stu)/u*k；
底数c的最终指数的非周期部分分别是[st*m3/gcd(st)、st*m3/gcd(st)、lcm(st)*m3+2]；
XYZ项解的指数分别为[t*m3/gcd(st)、s*m3/gcd(st)、lcm(st)*m3+2]/u。

无系数函数丢番图方程X^(2n+1)+Y^(2n+2)+Z^(2n+3)=U^(4n+3)解的结构
（分别将各个指数用stuv表示，以便结构简单。）
无系数的4元丢番图方程也可表示为4个底数的幂连乘积的形式，4个底数是a^2+b^2+c^2=d^2之abcd数，其中1项的指数比其余项的指数高2次；
对于方程X^s+Y^t+Z^u=U^v，4底数分别是a、b、c、d，
底数a的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数a的最终指数的非周期部分分别是[lcm(tuv)*m1+2]、tuv*m1/gcd(tuv)、tuv*m1/gcd(tuv)、tuv*m1/gcd(tuv)；
XYZU项解的指数分别为[lcm(tuv)*m1+2]/s、uv*m1/gcd(tuv)、tv*m1/gcd(tuv)、tu*m1/gcd(tuv)。式中lcm(tuv)*gcd(tuv)=tuv。

底数b的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数b的最终指数的非周期部分分别是[suv*m2/gcd(suv)、lcm(suv)*m2+2]、suv*m2/gcd(suv)、suv*m2/gcd(suv)；
XYZU项解的指数分别为[uv*m2/gcd(suv)、lcm(suv)*m2+2]/t、tv*m2/gcd(suv)、tu*m2/gcd(suv)。

底数c的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数c的最终指数的非周期部分分别是[stv*m3/gcd(stv)、stv*m3/gcd(stv)、lcm(stv)*m3+2]、stv*m3/gcd(stv)；
XYZU项解的指数分别为[tv*m3/gcd(stv)、sv*m3/gcd(stv)、lcm(stv)*m3+2]/u、st*m3/gcd(stv)。

底数d的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数d的最终指数的非周期部分分别是[stu*m4/gcd(stu)、stu*m4/gcd(stu)、stu*m4/gcd(stu)、lcm(stu)*m4+2]；
XYZU项解的指数分别为[u*m4/gcd(stu)、stu*m4/gcd(stu)、st*m4/gcd(stu)、lcm(stu)*m4+2]/v。

yangchuanju

整系数函数丢番图方程A*X^(2n+1)+B*Y^(2n+2)=C*Z^(2n+3解的结构
（分别将各个指数用stu表示，以便结构简单。）
整系数函数丢番图方程的解由6个幂因子组成，3个幂因子就是无系数方程的3个幂因子，另3个分别为以整系数为底数的幂因子；
如果某1,2项系数是1，则底数为1的各项可略去不考虑和显示。
以下仅叙述以A、B、C为底数的3个幂指数的结构形式。
整系数的3元丢番图方程的3个系底数的幂连乘积的形式，也由周期和非周期两部分构成，其中非周期部分1项的指数比其余项的指数低1次；
底数A的最终指数的周期部分都是lcm(stu)*k，XYZ项解的指数分别为lcm(stu)/s*k、lcm(stu)/t*k、lcm(stu)/u*k；
底数A的最终指数的非周期部分分别是[lcm(tu)*n1-1]、tu*n1/gcd(tu)、tu*n1/gcd(tu)、tu*n1/gcd(tu)；
XYZ项解的指数分别为[lcm(tu)*n1-1]/s、u*n1/gcd(tu)、t*n1/gcd(tu)、tu*n1/gcd(tu)。式中lcm(tu)*gcd(tu)=tu。

底数B的最终指数的周期部分都是lcm(stu)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stu)/s*k、lcm(stu)/t*k、lcm(stu)/u*k；
底数B的最终指数的非周期部分分别是[su*n2/gcd(su)、lcm(su)*n2-2]、su*n2/gcd(su)；
XYZU项解的指数分别为[u*n2/gcd(su)、lcm(su)*n2-1]/t、t*n2/gcd(su)。

底数C的最终指数的周期部分都是lcm(stu)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stu)/s*k、lcm(stu)/t*k、lcm(stu)/u*k；
底数C的最终指数的非周期部分分别是[st*n3/gcd(st)、st*n3/gcd(st)、lcm(st)*n3+2]；
XYZU项解的指数分别为[t*n3/gcd(st)、s*n3/gcd(st)、lcm(st)*n3+2]/u。
整系数丢番图方程各系底数的指数的周期部分与前4底数的指数的周期部分完全相同，非周期部分不同是因为求乘数m时要加2，而求乘数n时要减1。


整系数函数丢番图方程A*X^(2n+1)+B*Y^(2n+2)+C*Z^(2n+3)=D*U^(4n+3)解的结构
（分别将各个指数用stuv表示，以便结构简单。）
整系数函数丢番图方程的解由8个幂因子组成，4个幂因子就是无系数方程的4个幂因子，另4个分别为以整系数为底数的幂因子；
如果某1,2,3项系数是1，则底数为1的各项可略去不考虑和显示。
以下仅叙述以ABCD为底数的4个幂指数的结构形式。
整系数的4元丢番图方程的4个系底数的幂连乘积的形式，也由周期和非周期两部分构成，其中非周期部分1项的指数比其余项的指数低1次；
底数A的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数A的最终指数的非周期部分分别是[lcm(tuv)*n1-1]、tuv*n1/gcd(tuv)、tuv*n1/gcd(tuv)、tuv*n1/gcd(tuv)；
XYZU项解的指数分别为[lcm(tuv)*n1-1]/s、uv*n1/gcd(tuv)、tv*n1/gcd(tuv)、tu*n1/gcd(tuv)。式中lcm(tuv)*gcd(tuv)=tuv。

底数B的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数B的最终指数的非周期部分分别是[suv*n2/gcd(suv)、lcm(suv)*n2-2]、suv*n2/gcd(suv)、suv*n2/gcd(suv)；
XYZU项解的指数分别为[uv*n2/gcd(suv)、lcm(suv)*n2-1]/t、tv*n2/gcd(suv)、tu*n2/gcd(suv)。

底数C的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数C的最终指数的非周期部分分别是[stv*n3/gcd(stv)、stv*n3/gcd(stv)、lcm(stv)*n3+2]、stv*n3/gcd(stv)；
XYZU项解的指数分别为[tv*n3/gcd(stv)、sv*n3/gcd(stv)、lcm(stv)*n3+2]/u、st*n3/gcd(stv)。

底数D的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数D的最终指数的非周期部分分别是[stu*n4/gcd(stu)、stu*n4/gcd(stu)、stu*n4/gcd(stu)、lcm(stu)*n4+2]；
XYZU项解的指数分别为[u*n4/gcd(stu)、stu*n4/gcd(stu)、st*n4/gcd(stu)、lcm(stu)*n4+2]/v。
整系数丢番图方程各系底数的指数的周期部分与前4底数的指数的周期部分完全相同，非周期部分不同是因为求乘数m时要加2，而求乘数n时要减1。

yangchuanju

带系数函数型丢番图不定方程解结构探讨
解函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)+cZ^(2n+3)=dU^(4n+3)
其中一组通解公式为：
X=(2pm)^[lcm(XYZU指)/X指*k+[lcm(YZU指)*m1+2]/X指]
*(2pq)^[lcm(XYZU指)/X指*k+Z指*U指/gcd(YZU指)*m2]
*[p^(2n+1)-m^(2n+1)-q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/X指*k+Y指*U指/gcd(YZU指)*m3]
*[p^(2n+1)+m^(2n+1)+q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/X指*k+Y指*U指/gcd(YZU指)*m4]
*a^[lcm(XYZU指)/X指*k+[lcm(YZU指)*m5-1]/X指]
*b^[lcm(XYZU指)/X指*k+Z指*U指/gcd(YZU指)*m6]
*c^[lcm(XYZU指)/X指*k+Y指*U指/gcd(YZU指)*m7]
*d^[lcm(XYZU指)/X指*k+Y指*U指/gcd(YZU指)*m8]

Y=(2pm)^[lcm(XYZU指)/Y指*k+Z指*U指/gcd(XZU指)*m1]
*(2pq)^[lcm(XYZU指)/Y指*k+[lcm(XZU指)*m2+2]/X指]
*[p^(2n+1)-m^(2n+1)-q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/Y指*k+X指*U指/gcd(XZU指)*m3]
*[p^(2n+1)+m^(2n+1)+q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/Y指*k+X指*Z指/gcd(XZU指)*m4]
*a^[lcm(XYZU指)/Y指*k+Z指*U指/gcd(XZU指)*m5]
*b^[lcm(XYZU指)/Y指*k+[lcm(XZU指)*m6-1]/X指]
*c^[lcm(XYZU指)/Y指*k+X指*U指/gcd(XZU指)*m7]
*d^[lcm(XYZU指)/Y指*k+X指*U指/gcd(XZU指)*m8]

Z=(2pm)^[lcm(XYZU指)/Z指*k+Y指*U指/gcd(XYU指)*m1]
*(2pq)^[lcm(XYZU指)/Z指*k+X指*U指/gcd(XYU指)*m2]
*[p^(2n+1)-m^(2n+1)-q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/Z指*k+[lcm(XYU指)*m3+2]/Z指]
*[p^(2n+1)+m^(2n+1)+q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/Z指*k+X指*Y指/gcd(XYU指)*m4]
*a^[lcm(XYZU指)/Z指*k+Y指*U指/gcd(XYU指)*m5]
*b^[lcm(XYZU指)/Z指*k+X指*U指/gcd(XYU指)*m6]
*c^[lcm(XYZU指)/Z指*k+[lcm(XYU指)*m7-1]/Z指]
*d^[lcm(XYZU指)/Z指*k+X指*Y指/gcd(XYU指)*m8]

U=(2pm)^[lcm(XYZU指)/U指*k+Y指*Z指/gcd(XYZ指)*m1]
*(2pq)^[lcm(XYZU指)/U指*k+X指*Z指/gcd(XYZ指)*m2]
*[p^(2n+1)-m^(2n+1)-q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/U指*k+X指*Y指/gcd(XYZ指)*m3]
*[p^(2n+1)+m^(2n+1)+q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/U指*k+[lcm(XYZ指)*m4+2]/U指]
*a^[lcm(XYZU指)/U指*k+Y指*Z指/gcd(XYZ指)*m5]
*b^[lcm(XYZU指)/U指*k+X指*Z指/gcd(XYZ指)*m6]
*c^[lcm(XYZU指)/U指*k+X指*Y指/gcd(XYZ指)*m7]
*d^[lcm(XYZU指)/U指*k+[lcm(XYZ指)*m8-1]/U指]

其中，n、m、p、q为正整数，k为0或正整数，p＞m,  p>q
lcm——最大公倍数；gcd——最小公约数。
本例之中，gcd(XYZU指)、gcd(YZU指)、gcd(XZU指)、gcd(XYU指)、gcd(YZU指)都等于1。

yangchuanju

对于各个指数是互素的数字时，我勉强能求出8个乘数m1-m8，
但对于指数是一次二项式an+b的函数式时，我还不会求这些乘数，这里只是纸上谈兵。
尚需向程中战等老师好好学习！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-28 14:42
对于各个指数是互素的数字时，我勉强能求出8个乘数m1-m8，
但对于指数是一次二项式an+b的函数式时，我还不 ...

老师您太执着了，休息好，别太累了！
对于函数不定方程的解法，其实与数字不定方程的解法是类似的。首先确定各指数之间的互质情况，如果所有指数有大于2的公约数，有可能无解，也有可能有解，但费马方程是无解。
列出二元一次不定方程式，采用辗转相除法解之。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-28 17:36
老师您太执着了，休息好，别太累了！
对于函数不定方程的解法，其实与数字不定方程的解法是类似的。首先 ...

谢谢老师的指教！

(2n+1)*(2n+2)*(4n+3)=16n^3+36n^2+26n+6
(16n^3+36n^2+26n+6)*m3+2=(2n+3)*y3
(16n^3+36n^2+26n+6)*m7-1=(2n+3)*y7
请问程老师这两个二元一次方程有没有整数解？
另6个m我已经求出，但m3,m7一直找不到它们的整数解，
请老师帮一下忙，先行谢谢了！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-28 19:05
谢谢老师的指教！

(2n+1)*(2n+2)*(4n+3)=16n^3+36n^2+26n+6

(2n+1)*(2n+2)*(4n+3)=16n^3+36n^2+26n+6
(16n^3+36n^2+26n+6)*m3+2=(2n+3)*y3
(16n^3+36n^2+26n+6)*m7-1=(2n+3)*y7
学生的分析是：2n+3虽然与2n+1、2n+2互质，但是她与4n+3不一定互质，当n是3的倍数时，2n+3与4n+3不互质，所以，老师的这两个不定方程做为函数解时是无解的，当然，当n不是3的倍数时，这两个不定方程一定有解，但这不是函数解。

lusishun

杨老师，是程中占函数丢番图方程研究专家，权威。

费尔马1

解函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)+cZ^(2n+3)=dU^(4n+3)
这个不定方程中，由于4n+3与其它三个指数的互质不能确定，因此，要想解此题可以先移项，使右边的一项与左边各项都互质，解出的解同样是原方程的解。
例，因为2n+1与2n+2互质，所以[(2n+1)+(2n+2)]与(2n+1)、(2n+2)互质，即4n+3与(2n+1)、(2n+2)互质，又(2n+1)、(2n+2)、(2n+3)两两互质，所以，可以这样进行移项：
移项得，dU^(4n+3)-bY^(2n+2)-cZ^(2n+3)=aX^(2n+1)
或dU^(4n+3)-ax^(2n+1)-cZ^(2n+3)=by^(2n+2)
移项后的这两个不定方程就可能有函数解。待我实验?杨老师也抽时间实验。
但是，方程含有四个系数，解法也很麻烦的。采用整体换元法，先把右边一项的系数去掉，解第一步方程。然后，再加上右边项的系数，在在此基础上，再解一次方程。当然还有其它解法，学生看来，还是整体换元法较简单。

费尔马1

解二元一次不定方程建议使用辗转相除法，这样比较简单，如果数字小，也可采用电子表格海选法等程序计算，数字再小，可以用观察法解之，其实，还是用辗转相除法既快又精确，一步到位。