向量商解决《数学通报》征解题

denglongshan

公理方法应该不难

天山草

问题图形及解法思路：



题目编程：



程序运行结果：

天山草

在主帖中，楼主对 v 表达式的理解如下，最上面的那个是大家都知道的基本公式。

第二个公式就是楼主说的【向量商】。

第四个公式是针对本题目对第三个公式的简化：



另外，由张景中公式也可推出 v 的表达式：

天山草

下面介绍张景中的点几何做法。

张景中的原文是由楼主 denglongshan 推荐给本人的，为了对原文更易于理解，下面帖子对原文

作了少许修改。

denglongshan

\(f=\frac{1+t}{2}\)的几何意义：作DH//BC,平移AH至CH'，则F是HH'的中点。

王守恩

先把题目搞清楚，题目是这样的吗？

△ABC中, AB=BC, D是AB延长线上一点, E是BC延长线上一点, 且CE=AD,

延长AC交DE于F,FG∥BE交CD于G,FH∥AD交AE于H,

求证:FG=FH,AF⊥GH

王守恩

给出关键点。  ∠DAC=a,  ∠ADC=b

\(\frac{CD}{\sin(a)}=\frac{AD}{\sin(a+b)}\Rightarrow\frac{AD\sin(a)}{CD\sin(a+b)}=1\)

\(\frac{CE*FD\sin(a)}{CD*FE\sin(a+b)}=1\Rightarrow FD=FE\)

王守恩

谢谢 denglongshan！这样也可以。

FH交BE于K, 延长FG交AD于P, CO∥AD

AB=BC=1, BP=CK=KF=FO=m

PD=n, KE=n+1, GO=HK=x

\(\frac{n}{n+m}=1-x,\frac{n+1}{n+m+2}=x,解得:n=m,x=\frac{1}{2}\)

∵ AF是等腰三角形GFH的角平分线，∴ AF⊥GH

王守恩

谢谢 denglongshan！这样也可以。  ∠DAC=a,   CE=AD,

\(\frac{S△{CDA}}{S△{CEA}}=\frac{CA*AD\sin(a)}{CA*CE\sin(a)}=1\Rightarrow\frac{S△FDA}{S△FEA}=\frac{FD}{FE}=1\)

源图没画好(1楼,2楼,3楼,4楼):CE≠AD,误导了。

若是陆老师画的图，思路早来了。

天山草

王守恩： 原图确实画得与题意不符，因为图中 AD 长度大于 CE。

下图是准确的：