勾股数组全集

elim

定义 记\(\gcd(a,b)\)为\(\,a,b\in\mathbb{Z}-\{0\}\)的最大公因素．
引理 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)=\gcd(a\pm b,b),\;\gcd(a,c)=1\implies\gcd(a,b)=\gcd(a,cb).\)

定义 称\(\;G=\{\{a,b,c\}\subset\mathbb{N}^+:\;a^2+b^2=c^2\}.\) 为勾股数组全集。
定理 勾股数组全集
\((\dagger)\quad G=\{\{k(n^2-m^2),2kmn,k(n^2+m^2)\}{\large\mid}2\nmid(m+n),\,\gcd(m,n)=1.\,\small(k,m,n\in\mathbb{N}^+)\}\)
证明: 给定勾股数组 \(a,b,c\in\mathbb{N}^+,\)不妨设\(\,\gcd(a,b,c)=1,\,a\equiv c\equiv 1\pmod{2}.\) 则
\(\qquad\)对\(\,u=(c+a)/2,\,v=(c-a)/2\) 有 \(4uv=c^2-a^2=b^2,\;(b/2)\in\mathbb{N}^+.\) 据引理，
\(\qquad\gcd(u,v)=\gcd(u-v,v)\overset{\gcd{a,2}=1}{=\hspace{-1mm}=\hspace{-1mm}=\hspace{-1mm}=}\gcd(a,2v)=\gcd(a,c-a)=\gcd(a,c)=1\)
\(\therefore\quad uv=(b/2)^2,\;u= n^2,\,v=m^2,\,\gcd(m,n)=1,\;2\nmid (m+n)\;(2\nmid ac)\). 可见
\(\qquad a=n^2-m^2,\,b=2mn,\,c=m^2+n^2.\) 即对\((\dagger)\)有: \(LHS\subset RHS.\)
\(\qquad\)反向的包含关系是显而易见的\(\quad\square\).

ysr

确实是不存在整数边长的等腰直角三角形，当直角边相等且为整数的时候，斜边c必为无理数，就是直角边长乘以个根号2.

则完美长方体的棱长不会有相等的。

elim

定义 \(G_0=\left\{\{a,b,c\}\subset\mathbb{N}^+ :\;a^2+b^2=c^2,\;\gcd(a,b,c)=1\right\}\)的元叫本原勾股数组．
易见对本原勾股数组\(a,b,c\,(a,b< c)\), \(a,b\)不全为偶数, 否则\(2\mid\gcd(a,b,c);\)
\(a,b\) 不全为奇数, 否则\(a^2+b^2\)不是完全平方数. 故可设 \(a,c\)为奇数,\(b\)为偶数.
于是由主贴知 \(G_0=\left\{\{n^2-m^2,2mn, n^2+m^2\}: 2\nmid(m+n),\:\gcd(m,m)=1\right\}\)

任在深

《中华单位论》之中华内外方定理（涵盖勾股定理）：
定义：AB=√2n, AE=BE=√n,AC=BD=√(n-a)/2,  AD=BC=√(n+a)/2

        所以         ___            ________            __________
                (1) (√2n)^2=[√(2n-a)/2]^2+[√(2n+a)/2]^2，n≥1,a＜▏n▏
                                  =n-a/2+n+a/2
                                  =2n
                    其中：
                              左边=2n
                              右边=2n
                              左边=右边
                    定理証毕。
          列如：
                     5^2=3^2+4^2
             即：1) (√25)^2=(√1)^2+(√24)^2
                    2) (√25)^2=(√2)^2+(√23)^2
                    3) (√25)^2=(√3)^2+(√22)^2
                    4) (√25)^2=(√4)^2+(√21)^2
                    5) (√25)^2=(√5)^2+(√20)^2
                    6) (√25)^2=(√6)^2+(√19)^2
                    7) (√25)^2=(√7)^2+(√18)^2
                    8) (√25)^2=(√8)^2+(√17)^2
                   9) (√25)^2=(√9)^2+(√16)^2
                  10)  (√25)^2=(√10)^2+(√15)^2
                  11) (√25)^2=(√11)^2+(√14)^2
                   12) (√25)^2=(√12)^2+(√13)^2
                    13) (√25)^2=(√13)^2+(√12)^2
                     
    以下重复项 12---24各项，即有2n-1,共24项，这才是真实的“勾股定理”，《中华单位论》内外方定理！
                     

elim

jzkyllcjl 与任在深是论坛制造最多垃圾的人．