在复平面上，三角形 ABC 各顶点的复数坐标为 a、b、c，求该三角形的两个布洛卡点坐标

天山草

在复平面上，三角形 ABC 各顶点的复数坐标为 a、b、c，求该三角形的两个布洛卡点坐标。

答：若两个布洛卡点的复坐标为 p1 和 p2，则：



公式中字符上面有一横线的，表示共轭复数。

此公式如何证明？ 本人的证明方法以后发布。

creasson

根据定义\(\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA\) 即有
\[ \arg \frac{{P - a}}{{b - a}} = \arg \frac{{P - b}}{{c - b}} = \arg \frac{{P - c}}{{a - c}}\]
从而
\[{\mathop{\rm Im}\nolimits} \frac{{(P - a)(c - b)}}{{(b - a)(P - b)}} = 0, \quad {\mathop{\rm Im}\nolimits} \frac{{(P - a)(a - c)}}{{(b - a)(P - c)}} = 0\]
也即
\[\left\{ \begin{array}{l}
     \frac{{(P - a)(c - b)}}{{(b - a)(P - b)}} - \frac{{(\bar{P} - \bar{a})(\bar{c} - \bar{b})}}{{(\bar{b} - \bar{a})(\bar{P} - \bar{b})}} = 0 \\
     \frac{{(P - a)(a - c)}}{{(b - a)(P - c)}} - \frac{{(\bar{P} - \bar{a})(\bar{a} - \bar{c})}}{{(\bar{b} - \bar{a})(\bar{P} - \bar{c})}} = 0 \\
\end{array} \right.\]
联立即得.

天山草

求布洛卡点的 mathematica 程序：



程序运行结果：

Future_maths

二楼做得很好！

王守恩

\(\frac{\sin(x)\sin(x)\sin(x)}{\sin(A-x)\sin(B-x)\sin(A+B+x)}=1\)

\(\frac{\sin(A-x)\sin(A-x)\sin(A-x)}{\sin(x)\sin(B-A+x)\sin(2A+B-x)}=1\)

Table[Table[NSolve[{(Sin[(x) \[Pi]/180] Sin[(x) \[Pi]/180] Sin[(x) \[Pi]/180])/
(Sin[(5 A - x) \[Pi]/180] Sin[(5 B - x) \[Pi]/180] Sin[(5 A + 5 B + x) \[Pi]/180]) == 1,
5 A >= x >= 0}, {x}], {B, A, 18 - A/2}], {A, 1, 12}]

Table[Table[NSolve[{(Sin[(5A-x)\[Pi]/180]Sin[(5A-x)\[Pi]/180]Sin[(5A-x)\[Pi]/180])/
(Sin[(x) \[Pi]/180] Sin[(5 B - 5 A + x) \[Pi]/180] Sin[(10 A + 5 B - x) \[Pi]/180])== 1,
5 A >= x >= 0}, {x}], {B, A, 18 - A/2}], {A, 1, 12}]

王守恩

对5楼补充。

1,两个布洛卡点解是 x, A-x,

2,A,B 是已知条件。A=最小的角，B=次小的角。

3,解题用的是角格点=角分线=梅氏定理。

谢谢天山草！提供宝贵的题目(我缺的就是题目)。

5楼出得比较顺利，是因为我正在做一道类似的题目(《数学研发论坛》),效果还不满意。

P 是三角形 ABC 内的点，过P,A作直线交BC于A'，过P,B作直线交AC于B',

过P,C作直线AB交于C'，满足: AA'=BB'=CC'。

各位网友！谈谈您的想法。

denglongshan

\(\frac{1}{\sin^2\theta}=\frac{1}{\sin^2A}+\frac{1}{\sin^2B}+\frac{1}{\sin^2C}\)
另外一条参考：布洛卡点的一条性质h ttps://www.zhihu.com/question/465376952/answer/1978722674