已知实数 x 满足 sin[1+(cosx)^2+(sinx)^4]=13/14 ，求 cos[1+(sinx)^2+(cosx)^4]

dodonaomikiki

MIT以及哈佛的数学竞赛题目·三角学



请看题目！
感觉颇富简洁美，故而搞过来

dodonaomikiki

LATEX表现一哈：

Real   number   x   satisfies   the   following:
\(sin(1+    cos ^2 x+sin^4   x)=   \frac{13}{14}\)


Get   the  value  of   the  following:
\(cos(1+    sin ^2 x+cos^4   x)\)

Treenewbee

\[(1 + cos^2 x + sin^4 x) - (1 + sin^2 x + cos^4 x)\]
\[=(cos^2 x-sin^2 x ) - ( cos^4 x- sin^4 x)=0\]
故 \[(1 + cos^2 x + sin^4 x) = (1 + sin^2 x + cos^4 x)\]

又
\[1 + cos^2 x + sin^4 x= sin^4 x-sin^2x+2=(sin^2x-1/2)^2+7/4\]

\[\pi/2<7/4<=1 + cos^2 x + sin^4 x<=2<\pi\]

故

\[cos(1 + sin^2 x + cos^4 x)=-\frac{3\sqrt3}{14}\]

luyuanhong

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Nicolas2050

cos&#178;x + sin&#178;x = 1
那么，(cos&#178;x - sin&#178;x)=1×(cos&#178;x - sin&#178;x)=(cos&#178;x + sin&#178;x)(cos&#178;x - sin&#178;x)=(cosx)^4 - (sinx)^4

dodonaomikiki

感谢Treenewbee！非常感谢！

波斯猫猫

题：已知实数 x 满足 sin[1+(cosx)^2+(sinx)^4]=13/14 ，求 cos[1+(sinx)^2+(cosx)^4] 。

因α=1+(sinx)^2+(cosx)^4=(sinx)^4-(sinx)^2+2=[(sinx)^2-1/2]^2+7/4，故π/2＜7/4≤α≤2＜π。

故cosα=cos[1+(sinx)^2+1-2(sinx)^2+(sinx)^4]=cos[1+(cosx)^2+(sinx)^4]=cosβ

=-√[1-(sinβ)^2]=-√[1-(13/14)^2]=-3√3/14。

luyuanhong

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dodonaomikiki

猫猫老师的解答，LATEX化


已知实数 x 满足\(     sin[1+(cosx)^2+(sinx)^4]=13/14 ，求 cos[1+(sinx)^2+(cosx)^4]               \)

因

\begin{align*}     \alpha  &=1+(sinx)^2+(cosx)^4\\
&=(sinx)^4-(sinx)^2+2\\
&=【sin^2x-1/2】^2+7/4\\
&故π/2  \prec    7/4  \preceq    α  \preceq    2  \prec    π \\
\end{align*}

故
\begin{align*}
cos\alpha
&=cos【1+(sinx)^2+1-2(sinx)^2+(sinx)^4】\\
&=cos【1+(cosx)^2+(sinx)^4】\\
&=cosβ  【Note  \qquad    that:  β= sin[1+(cosx)^2+(sinx)^4】 \\
&=-\sqrt{1-sin^2β     }\\
&=-\sqrt{   1-(13/14)^2}\\
&=-3  \sqrt{  3}/14  
\end{align*}

天山草

波斯猫猫的解答最为有趣。只是没有说明 β 角的取值范围，下面补上。