为什么有约等式 tanh(x)≈x-x^3/3 ，arctanh(x)≈x+x^3/3 ？

wilsony

我在看统计力学书时遇到这两个约等式，谁能证明？

xfhaoym

这对你可能有帮助。

chenjiahao

xfhaoym 发表于 2023-3-4 17:56
这对你可能有帮助。

这个就是双曲正切函数的泰勒展开式

chenjiahao

但绘制图像后，可以发现明显的误差

wilsony

谢谢xfhaoym。

Treenewbee

wilsony 发表于 2023-3-4 20:16
谢谢xfhaoym。

\[arctanh(x)=\frac{1}{2}(ln(1+x)-ln(1-x))\]

\[ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^{n-1}/x^n\]

代入，可得：

\[arctanh(x)=x+x^3/3+x^5/5+...\]

wilsony

谢谢Treenewbee。