D 在 BC 上，A,D,E 共线，ΔADC 外接圆与 AB 相切，BE⊥AD，CA=CD，AE=CE。求 ∠BCA

ccmmjj

知乎上看到的题目，据说是印度的竞赛题。最近头脑不好使，拿来请教网友，这个角是确定的吗？

时空伴随者

∠BCA=45°是满足要求的，不知道唯一性怎么证明。

天山草

我算出 ∠BCA=45°，跟楼上的结果一样。不存在其它的解。



方法简述：



程序：



运行结果：

王守恩

∠DCA=2a=45°,  不存在其它的解。

\(\frac{\sin(∠DEB)\sin(∠DCE)\sin(∠DAC)\sin(∠DBA)}{\sin(∠DEC)\sin(∠DCA)\sin(∠DAB)\sin(∠DBE)}=\frac{\sin(90)\cos(3a)\cos(a)\cos(3a)}{\sin(2a)\sin(2a)\sin(2a)\sin(a)}=1\)

ccmmjj

啊，和我的猜测一样，是45度。不过既然是正式的竞赛题，应该有常规解吧？

shuxuestar

正确且简洁的解答在此：

天山草

shuxuestar

不好意思疏忽了：
8*cosx^4 - 8*cosx^2 + 1 =0
熟悉数学公式的知道：恰好为四倍角公式,
所以直接写出：cos4x= 0；4x=pi/2，3pi/2。

x<pi/2,直接算出x=pi/8；a=pi/4；( 修改后的解答看前面........... )

  看来印度数学牛 ,

ccmmjj

shuxuestar 发表于 2023-3-15 15:05
不好意思疏忽了：
8*cosx^4 - 8*cosx^2 + 1 =0
熟悉数学公式的知道：恰好为四倍角公式,

明察！辛苦了。

时空伴随者