求X^6+Y^4=Z^2

lusishun

的正整数解。

费尔马1

求X^6+Y^4=Z^2 的正整数解。
此题有解。

lusishun

假设a^2+b^2=c^2，
两边同乘以a^4，得
a^6+b^2·a^4=c^2·a^4，
两边再同乘以【（a^2·b）^2】^18，得：
（待续）

lusishun

lusishun 发表于 2023-3-15 14:22
假设a^2+b^2=c^2，
两边同乘以a^4，得
a^6+b^2·a^4=c^2·a^4，

用的是凑底凑指法。

lusishun

公式：
【（m^2-n^2）^7（2mn）^3】^6+【（m^2-n^2）^10（2mn）^5】^4=
【（m^2-n^2）^20·（2mn）^9·（m^2+n^2）】^2
（m，n为正整数，m大于n）

lusishun

lusishun 发表于 2023-3-15 17:53
公式：
【（m^2-n^2）^7（2mn）^3】^6+【（m^2-n^2）^10（2mn）^5】^4=
【（m^2-n^2）^20·（2mn）^9（m^2 ...

取m=2，n=1，可以求出a=3，b=4，c=5时，X，Y，Z的值

费尔马1

lusishun 发表于 2023-3-15 22:22
假设a^2+b^2=c^2，
两边同乘以a^4，得
a^6+b^2·a^4=c^2·a^4，

老师的方法可能得不到解？
学生的解法是：
求A^6+B^4=C^2 的正整数解。
采用逐项配方法：a^2+b^2=c^2，
两边同乘以a^4，得
a^6+(ba^2）^2=(ca^2）^2
两边同乘以(ba^2）^(6x)需6x+2=4y
最小解是 x=1   y=2
即两边同乘以(ba^2）^(6×1），即(ba^2）^6
（aba^2）^6+[(ba^2)^2]^4=(ca^2b^3a^6)^2
A=a^3b
B==a^4b^2
C==a^8b^3c
例，a=3，b=4，c=5时，有解108^6+1296^4=2099520^2

时空伴随者

7#结果基本正确，表述欠佳。
都是勾股定理若得祸！
设\(a^2+b^2=c^2\)，正整数a,b,c两两互质，两边同乘以\(a^{2x}b^{2y}\)保证右边为平方项。
得\(a^{2x+2}b^{2y}+a^{2x}b^{2y+2}=(a^xb^yc)^2\)
只要，x是2的倍数，且2x+2是6的倍数；y是3的倍数，2y+2是4的倍数，即可！
（x=2,8,14,...；y=3,9,15...）
最小解是\(12^6+36^4=2160^2\)

lusishun

时空伴随者 发表于 2023-3-16 03:10
7#结果基本正确，表述欠佳。
都是勾股定理若得祸！
设\(a^2+b^2=c^2\)，正整数a,b,c两两互质，两边同乘以 ...

3^2+4^2=5^2，
两边同乘以3^2，得：
3^4+12^2=15^2，
两边同乘以12^4，得
36^4+12^6=（15·12^2）^2，即：
12^6+36^4=2160^2.

费尔马1

求X^6+Y^4=Z^2 的正整数解。
此题有多种解法，其中学生只会两种解法，
（1）逐项配方法；
（2）平方差公式法。
这个类型的题属于大勾股数，
A^(2x)+B^(2y)=C^(2z)
其中正整数x、y、z两两互质，则此方程有正整数解。