烫手的山芋

yangchuanju

烫手的山芋
用素数个数的平方求偶数素数对，精度比哈李对数式高一些，不愧为一种好方法；
好不容易地抢到手，但它又非常烫手，捧着烫得难受，扔了又怪可惜。

用哈李对数式2c*∏(p-1)/(p-2)*N/ln(N)^2比较快捷，给定一个偶数，只要分解一下因子，很快就求得该偶数的素数对。
若用N内素数个数的平方计算，要得到任一个偶数以内的素数个数异常繁琐和困难；
从目前有效资料看，仅知道10^28以下10的整幂数（10^1,10^2,…10^28）的素数个数，
以及10^22以内k*10^n以内的素数个数，其中n=1-16时k等于1-10000，n=17时k等于1-1000，n=18-21时k等于1-100，n=22时k等于1-10。
若使用素数个数计算软件可以得到42亿（不到一半的10位数）以内的素数个数和素数表。
但如要计算10位数9876543210的素数对，使用素数个数平方法你将干瞪眼！

虽有素数定理可用，但使用素数定理求得的素数个数小于实际素数个数，实际上回到了哈李对数计算式；
素数的间距不固定，可能相邻（孪生素数），也可能相距很远，例素数89和97相距8,113和127相距14，……
要计算偶数90,92,94,96的素数对数，其内素数个数都是24，计算后4偶数分子相同，分母则一个比一个大，不计波动系数时大偶数素数对的计算值反而是小的，请看第2列数字。
偶数        24^2/N        ∏(p-1)/(p-2)        c*波*24^2/N        素数对        素平方/素对
90        6.4000         2.6667         11.2668         9        1.2519
92        6.2609         1.0000         4.1332         4        1.0333
94        6.1277         1.0000         4.0452         5        0.8090
96        6.0000         2.0000         7.9219         7        1.1317

偶数        哈李式        哈李/素对        ∏(p-2)/p        连乘积式        连乘/素对
90        7.8248         0.8694         0.1429         8.5714         0.9524
92        2.9704         0.7426         0.1429         3.2857         0.8214
94        3.0063         0.6013         0.1429         3.3571         0.6714
96        6.0841         0.8692         0.1429         6.8571         0.9796

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（接上楼）
再计算偶数114,116,118,120,122,124,126的素数对数，其内素数个数都是29，计算后7偶数分子相同，分母则一个比一个大，不计波动系数时大偶数素数对的计算值反而是小的。
偶数        29^2/N        ∏(p-1)/(p-2)        c*波*29^2/N        素数对        素平方/素对
114        7.3772         2.0000         9.7403         10        0.9740
116        7.2500         1.0000         4.7862         6        0.7977
118        7.1271         1.0000         4.7051         6        0.7842
120        7.0083         2.6667         12.3377         12        1.0281
122        6.8934         1.0000         4.5508         4        1.1377
124        6.7823         1.0000         4.4774         5        0.8955
126        6.6746         2.4000         10.5752         10        1.0575

偶数        哈李式        哈李/素对        ∏(p-2)/p        连乘积式        连乘/素对
114        6.7100         0.6710         0.1429         8.1429         0.8143
116        3.3889         0.5648         0.1429         4.1429         0.6905
118        3.4227         0.5705         0.1429         4.2143         0.7024
120        9.2169         0.7681         0.1429         11.4286         0.9524
122        3.4898         0.8724         0.1169         3.5649         0.8912
124        3.5231         0.7046         0.1169         3.6234         0.7247
126        8.5351         0.8535         0.1169         8.8364         0.8836
由于偶数较小，比值不稳定，且无规律出现；但大体可见素数个数平方计算值与素数对的比值大于哈李计算式值与素数对的比值，也大于连乘积计算值与素数对的比值。                                       

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已知2*19#等于19399380，8位数，可以查知其内素数个数为1234841；
2*23#等于446185740，9位数，可以查知其内素数个数为23661448；
但2*29#等于12939386460，11位数，素数个数计算软件不干了！

对于2*19#=19399380，8位数，可以查知其内素数个数为1234841，最大素数是19399379，下一个素数是19399411，相距32；
偶数        1234841^2/N        ∏(p-1)/(p-2)        c*波*1234841^2/N        素数对        素平方/素对
19399380        78602.11         4.3807         227317.55         226758        1.0025
19399382        78602.11         1.0029         52040.52         51979        1.0012
19399384        78602.10         1.0093         52375.06         52310        1.0012
19399386        78602.09         2.0000         103780.20         103653        1.0012
19399388        78602.08         1.0191         52881.46         52736        1.0028
19399390        78602.07         1.3333         69186.78         68810        1.0055
19399392        78602.07         2.0000         103780.17         103583        1.0019
19399394        78602.06         1.2000         62268.09         62196        1.0012
19399396        78602.05         1.1132         57766.50         57578        1.0033
19399398        78602.04         2.0260         105127.93         104723        1.0039
19399400        78602.03         1.3333         69186.75         69129        1.0008
19399402        78602.03         1.1137         57792.06         57439        1.0061
19399404        78602.02         2.0000         103780.10         103093        1.0067
19399406        78602.01         1.0955         56844.25         56471        1.0066
19399408        78602.00         1.2000         62268.05         62118        1.0024
19399410        78601.99         2.6782         138973.69         138559        1.0030

偶数        哈李式        哈李/素对        ∏(p-2)/p        连乘积式        连乘/素对
19399380        199234.14         0.8786         0.0118         250377.24         1.1042
19399382        45611.30         0.8775         0.0118         57319.65         1.1027
19399384        45904.52         0.8775         0.0118         57688.14         1.1028
19399386        90958.97         0.8775         0.0118         114308.00         1.1028
19399388        46348.38         0.8789         0.0118         58245.94         1.1045
19399390        60639.33         0.8813         0.0118         76205.35         1.1075
19399392        90959.00         0.8781         0.0118         114308.04         1.1035
19399394        54575.40         0.8775         0.0118         68584.83         1.1027
19399396        50629.95         0.8793         0.0118         63626.58         1.1051
19399398        92140.31         0.8798         0.0118         115792.59         1.1057
19399400        60639.35         0.8772         0.0118         76205.39         1.1024
19399402        50652.39         0.8818         0.0118         63654.79         1.1082
19399404        90959.05         0.8823         0.0118         114308.11         1.1088
19399406        49821.69         0.8823         0.0118         62610.85         1.1087
19399408        54575.44         0.8786         0.0118         68584.88         1.1041
19399410        121804.87         0.8791         0.0118         153072.02         1.1047

yangchuanju

（接上楼）
从第2列数据看，数值偶数的增大，素数个数平方除以偶数反而逐渐减少；
素数个数平方与素数对的比值都大于1，约为1.00几，与1的接近程度比哈李式好得多（0.87几），但仍不是1呀，仍有误差呀！
素数个数平方与素数对的比值都大于1，约为1.00几，与1的接近程度也比连乘积式好得多（1.10几），但仍不是1呀，仍有误差呀！
主要问题是，偶数再大一些，偶数以内的素数个数你无法统计出来呀！

我的一个帖子曾经涉及到可用素数个数计算偶数的素数对，不料立刻引起一些人前来挣版权，
在此我郑重声明，我不要版权，也不介入你们的版权之争。
正如帖子开头所说，这只不过是一块烫手的山芋，捧着烫手，扔了可惜！

重生888@

用真实素数个数，当然烫手！不但充分大，你得不到（真实素数个数），因为哈李公式已暗含一次，再使用就重了。哪来准确？

cuikun-186

数学是逻辑推理的天堂

cuikun-186

本帖最后由 cuikun-186 于 2023-3-19 11:16 编辑


r2(N)>[π（N）]^2/N≥1已经完全证明了哥猜！

至于如何获得其精确值是两个不同的命题！

这在逻辑上是有界定的！

重生888@

不理解90 （9）   92 （4）   94（5）    96（7）的素数对不同吧？
90有四种组合         7+23    11+19    13+17     29+31
92有二种组合         13+19   31+31
94有两种组合         11+23   17+17
96有三种组合         7+29      13+23    17+19     
靠连乘积能解决吗？

cuikun-186

r2(N)>[π（N）]^2/N≥1就是证明。
因为素数定理告诉人们π（N）接近于N/lnN,
从而：
r2(N)≥N/(lnN)^2，N/(lnN)^2该式是增函数。
这在数理逻辑推理是严谨的！

yangchuanju

素数个数网页
Tables of values of pi(x) and of pi2(x)
网址https://sweet.ua.pt/tos/primes.html