正六边形 ABCDEF 面积 6，G,H,I 是 FA,BC,DE 的三分点，求 AI,CG,EH 围成正三角形面积

ccmmjj

如图，这是从网上看到的一道日本几何题目：正六边形面积等于6，I、G、H是隔边上的三分点，AI、CG、EH三线围成一正三角，求其面积。



我将它作为睡前催眠，催了三晚，没想出来。今天用笔计算，大概得了一个9/7的答案，不知道是否正确，请诸友斧正。

时空伴随者

天山草

来个不动脑子的方法：



运行结果：




ccmmjj  老师：您下面提的这个事已在 8# 楼给了回复。

时空伴随者

图示已经明了，最大正三角形减去三个三分之一，重叠=阴影。连接KE自然过H，瞪眼可知。

王守恩

1楼的图。小三角形3条边=r,2x,3x。正三角形面积=3个小三角形面积+1

\(AB=3r,6=\frac{6*(3r)(3r)\sin(60)}{2}\Rightarrow r^2=\frac{4}{9\sqrt{3}}\)

\(r^2=(2x)^2+(3x)^2-2(2x)(3x)\cos(60)\Rightarrow x^2=\frac{4}{63\sqrt{3}}\)

\(正三角形面积=\frac{3*(2x)(3x)\sin(60)}{2}+1=\frac{9}{7}\)

ccmmjj

时空伴随者 发表于 2023-3-21 07:17
图示已经明了，最大正三角形减去三个三分之一，重叠=阴影。连接KE自然过H，瞪眼可知。

第一个问题确实如此，但总要写得明白。第二个问题恰好是1:2的情况下成立，是要用比例式说明一下为好。目瞪这东西不是人人都有感觉的。

王守恩

Solve[{Tan[a]==3 Sqrt[3], Sqrt[r]/Sin[\[Pi]/3]==Sqrt[x]/Sin[a]==Sqrt[y]/Sin[\[Pi]/3 + a],

6 == (6*9 r  Sin[\[Pi]/3])/2, s == ((Sqrt[r + 27 r] - Sqrt[x] - Sqrt[y])^2 Sin[\[Pi]/3])/2,

Tan[a] == 3 Sqrt[3], \[Pi]/2 > a > 0, r > 0}, {a, r, x, y, s}] // FullSimplify

{{a ->ArcTan[3Sqrt[3]], r ->4/(9Sqrt[3]), x ->4/(7Sqrt[3]), y ->16/(63Sqrt[3]), s ->9/7}}

天山草

ccmmjj  老师，您在 3# 楼的点评中，说的这个工具可能是 mathematica 这个计算软件吧？ 如果您电脑上还没有这个软件，可以找人下载一个。目前最新版本是 13.2 的，我用的是 9.0 版的，已落后不少。如果您已经有了这个软件，就只须了解一下复平面上的一些基本解析几何公式即可。这个计算体系最早是网友 denglongshan 开创的。目前喜欢用的人不多。学这个比较容易，但学 mathematica 需要花费较多时间和精力，好在有许多学习资料参考。关于解析几何公式，可参阅 http://kuing.infinityfreeapp.com ... &extra=page%3D1 ，一些典型例题可参阅 http://kuing.infinityfreeapp.com ... &extra=page%3D1

ccmmjj

天山草 发表于 2023-3-21 11:58
ccmmjj  老师，您在 3# 楼的点评中，说的这个工具可能是 mathematica 这个计算软件吧？ 如果您电脑上还没有 ...

悠闲数学网，我去过，很有意思的一个网站。这个工具，我试着下一个玩玩。至于向量商这个概念，我很早就听那位网友给我介绍过。当时年轻，脑子也快，很是不屑。现在感受不同了，觉得可以接受。

波斯猫猫

题：正六边形 ABCDEF 面积 6，G,H,I 是 FA,BC,DE 的三分点，求 AI,CG,EH 围成正三角形面积 。

思路(1楼图)：设AI∩CG=M，AG=r，AM=x，MG=y，正三角形的边长为a，

易算得AI=x+y+a=2√7r。在△AMG中，有r^2=x^2+y^2-xy。

连AH，则AH^2=19r^2=(x+a)^2+(y+a)^2-(x+a)(y+a)，即a(x+y+a)=18r^2，或a=9r/√7。

又由条件易算得，r^2=4/(9√3)，故a^2=36/(7√3)。

从而，所求正三角形面积=a^2sin60°/2=9/7。