Gauss-Bonnet公式

cjc113355

假定曲线C是曲面S上的一条分段光滑的简单闭曲线，它所包围的区域D是曲面S上的一个单连通区域，则



其中kg是曲线C的测地曲率，K是曲面S的Gauss曲率，∑αi表示曲线C在各角点的外角和。

cjc113355

证明：假设C是连续可微的简单闭曲线，D落在曲面的一个坐标域(u,v)内，假定(u,v)是正交系，于是曲面的第一基本形式为

设曲线C的方程是u=u(s)，v=v(s), s是弧长参数。用θ(s)表示曲线C与u-曲线在s处所成的方向角，则由Liouville公式得到

cjc113355

将kg沿曲线C积分，得到

上面的第二个等式中利用了

根据Green公式，后一个积分是

cjc113355

由旋转指标定理得到

综合上面结果得到

如果C是分段光滑的简单闭曲线，它的各角点的外角是αi，1≤i≤n，则由旋转指标定理得到


因此，Gauss-Bonnet公式得证。