用四个三边长分别为 5、6、7 的三角形纸板，拼接成一个四面体，求这个四面体的体积

ccmmjj

来道趣味题

昨天从以前收集的材料中看到一道题，觉得挺有趣。因为很多人有一个错误想象，觉得四面相同的四面体就是正四面体。然而这道题却说不是，而且还能求体积。题目如下：
已知三角形纸板三边长分别为5、6、7。用四个这样规格的纸板拼接成一个四面体，求四面体的体积。

天山草

四面体棱长为 AB=a=5;  AD=b=7;  AC=c=6;  DC=p=5;  BC=q=7; BD=r=6。



上图中的 \(V\) 应该改成 \(V^2\) 才对。因此体积是 \(\sqrt{380}=19.4936\)。

王守恩

用四个三边长分别为 (n-1), n, (n+1) 的三角形纸板, 拼接成一个四面体, 求这个四面体的体积

\(这个四面体的体积=\sqrt{\frac{ n^6 - 14 n^4 - 32 n^2}{72}}\ \ \ n=4,5,6,7,8,9,.....\)

如果按“四舍五入”，可以是这样一串数：

0, 9, 19, 34, 53, 78, 109, 147, 193, 248, 311, 385, 469, 565, 672, 792, 926, 1074, 1237,
1415, 1609, 1821, 2050, 2297, 2564, 2850, 3157, 3485, 3835, 4208, 4604, 5024, 5469,
5939, 6435,6959, 7509, 8088, 8697, 9334, 10003, 10702, 11433, 12197, 12994, .........

参考《已知一个四面体的六条棱长为 2、3、3、4、5、5 ，求此四面体体积的最大值 》

ccmmjj

天山草 发表于 2023-3-28 15:40
四面体棱长为 AB=a=5;  AD=b=7;  AC=c=6;  DC=p=5;  BC=q=7; BD=r=6。

是四面体体积公式吗？感觉上是不对的。

luyuanhong

luyuanhong

天山草

王守恩

天山草 发表于 2023-3-29 11:02

用四个三边长分别为 (n-1), n, (n+1) 的三角形纸板, 拼接成一个四面体, 求这个四面体的体积

\(这个四面体的体积=\sqrt{\frac{ n^6 - 14 n^4 - 32 n^2}{72}}\ \ \ n=4,5,6,7,8,9,.....\)

这公式应该没有问题，麻烦天山草找几个数验算验算。谢谢！

天山草

天山草

回答 时空伴随者：为什么 n=3 时不行？ 因为这时三角形三边为 3、4、5，是一个直角三角形。四个这样的三角形无法构成一个四面体。