AC,BD 交于 O，P 点在四边形 ABCD 内，∠PAD=∠PDC=90°，∠PBA=∠PCD，求证：OP⊥AD

uk702

这道题如何用复数来证明？



题目来源：tieba.baidu.com/p/7437223865

难点是A 、 D 虽然能构造出来，但后继计算很难加以化简。

uk702

无需手工推导，直接用 MMA 硬解出 A 和 D 的坐标，反而轻松证得。

1. 
   
2. ClearAll["Global`*"];
   
3. 
   
4. (* 假设 b=(0,0), c=(1,0) *)
   
5. (* 为了使代码更加可嵌入到 web 页面中，用小写字母 a 表示 A 的复坐标，而 a' 表示 a 的共轭，下同 *)
   
6. b' = b = 0; c' = c = 1;
   
7. 
   
8. (*过 A、B 两点的复斜率定义*)
   
9. k[a_, b_] := (a - b)/(a' - b');
   
10. k'[a_, b_] := 1/k[a, b];
    
11. 
    
12. (*直线 AB 与 CD 的交点 *)
    
13. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((c' d - c d') (a - b) - (a' b - a b') (c - d))/((a - b) (c' - d') - (a' - b') (c - d));
    
14. FourPoint'[a_, b_, c_, d_] := -((c d' - c' d) (a' - b') - (a b' - a' b) (c' - d'))/((a - b) (c' - d') - (a' - b') (c - d));
    
15. 
    
16. (* 由 ∠ABP = ∠PCD，得到 k[a, b]/k[p, b] = k[p,c]/k[d, c], 记它们的商为 u *)
    
17. (* 由 PA⊥AB，PD⊥ DC 得到 k[p, a] == -k[a, b]，k[p, d] == -k[d, c] *)
    
18. (* 建立方程，硬解之 *)
    
19. sol = Solve[{k[a, b]/k[p, b] == u, k[p,c]/k[d, c] == u, k[p, a] == -k[a, b], k[p, d] == -k[d, c]}, {a, a', d, d'}];
    
20. 
    
21. {a, a', d, d'} = {a, a', d, d'} /. Last[sol];
    
22. 
    
23. (* 求 AC 与 BD 的交点 O *)
    
24. o = FourPoint[a, c, b, d]; o' = FourPoint'[a, c, b, d];
    
25. 
    
26. (* 分别求 OP 与 AD 的复斜率，验证其互为相反数 *)
    
27. kop = Simplify[k[o, p]]; kad = Simplify[k[a, d]];
    
28. 
    
29. (* 若 OP⊥AD，则结果应为 0，反之亦然 *)
    
30. Simplify[kop + kad];

复制代码

天山草

这道题很简单，怎样做都可以。下面是用三个角度作为自由变量，然后可算出各点坐标。

最后是用两条直线的复斜率是否互为相反数来判断它们是否垂直。



运行结果：

天山草

共轭复数的表示，字母上面如何写上一横，见下图：



上图中有红色标记的，能把字母上方打一横线。