漫谈排列与线性方程的解组及面积体积之关联

白新岭

今天举个简单而深刻的例子，线性不定方程x+y+z=6的正整数解组数，我们把6个1排成一排，有前后顺序，这样我们在1与1之间放2个挡板，则把它们分成3部分，前中后分别对应着x，y，z三个未知数，则每种放挡板法，就是一组满足条件的解组。用排列组合知识，我们很容易获得，方程有\(C_5^2\)=10.
现在我们枚举这10组解：
（1,1,4）；（1,2,3）；（1,3,2）；（1,4,1）
（2,1,3）；（2,2,2）；（2,3,1）
（3,1,2）；（3,2,1）
（4,1,1）
分成4层，第一层4个点，逐层降低，顶层一个点，根据梯形面积公式，（上底+下底）*高/2=（1+4）*4/2=10
这里想给大家解释一下，方程解组与面积，体积，...等等之间的深层联系。三元的是一个三角形面积，四元的是四面体的体积，（二元的是直线上的点数），更高维的是比它低一维的“体积”。

白新岭

2023年4月11日周二农历闰二月廿一晚20:42分
今天还是深刻解释，排列组合与线性不定方程的满足条件的正整数解组数，与线的点数，面的面积，
体的体积，以及更高维中格点数的相互关系。
我们先考察x+y+z+……+u+v=n的正整数解组数问题，这个问题用高中的排列组合知识很容易解决。
把数字1排列成一排，具有前后顺序，我们设未知数的个数是m个，则把那一排数字“1”分成有序的
m份即可，第一份对应着x的取值，第二份对应着y的取值，第三份对应着z的取值，……，这样一一对应，
则每一种方法（在“1”与“1”之间放挡板），就是线性不定方程的一组满足条件的正整数解。
n个1有（n-1)个空隙，在这（n-1)个空隙中，放（m-1)个挡板，就可以把它们分成有序的m份，每份
对应着一个未知数变量，所以放挡板数就是线性不定方程的正整数解组数。根据排列组合知识，我们
很容易获得挡板方法数为：\(C_{n-1}^{m-1}\)

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主楼是拿一个3个变量作为例子，今天以4个变量做进一步的分析。

白新岭

x+y+z+u=9,\(C_{n-1}^{m-1}\)=\(C_{9-1}^{4-1}\)=\(C_8^3\)=8*7*6/3*2*1=56
另x=1，则为：(1,1,6),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,3),(1,5,2),(1,6,1)
             (2,1,5),(2,2,4),(2,3,3),(2,4,2),(2,5,1)
             (3,1,4),(3,2,3),(3,3,2),(3,4,1)
             (4,1,3),(4,2,2),(4,3,1)
             (5,1,2),(5,2,1)
             (6,1,1)
一层地基建起来了。
接下来建第二层。

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接下来建第二层。
另x=2，则为：(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(1,4,2),(1,5,1)
             (2,1,4),(2,2,3),(2,3,2),(2,4,1)
             (3,1,3),(3,2,2),(3,3,1)
             (4,1,2),(4,2,1)
             (5,1,1)
第二层搭建完毕，接着第三层开始建设。

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第二层搭建完毕，接着第三层开始建设。
另x=3，则为：(1,1,4),(1,2,3),(1,3,2),(1,4,1)
             (2,1,3),(2,2,2),(2,3,1)
             (3,1,2),(3,2,1)
             (4,1,1)
第三层搭建完毕，接着第四层开始建设。
我是随编辑，随发的。

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第三层搭建完毕，接着第四层开始建设。
另x=4，则为：(1,1,3),(1,2,2),(1,3,1)
             (2,1,2),(2,2,1)
             (3,1,1)
第四层搭建完毕，接着第五层开始建设。

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第四层搭建完毕，接着第五层开始建设。
另x=5，则为：(1,1,2),(1,2,1)
             (2,1,1)
第五层搭建完毕，接着第六层开始建设。
另x=6，则为：(1,1,1)
第,六层搭建完毕，整个工程结束了，全部完工。

白新岭

通过以上各楼分析：x+y+z+u=9的正整数解组数为：1+3+6+10+15+21=56，最底层根基，根据梯形面积，（上底+下底）*高/2=（1+6）*6/2=21；第二层：（1+5）*5/2=15；第三层：（1+4）**4/2=10；第四层：（1+3）*3/2=6；第五层：（1+2）*2/2=3；第六层：（1+1）*1/2=1.
也就是说，3个变量确定的是一个正三角形平面的面积；4个变量确定的是一个正四面体的体积。从这里可以看到，线性不定方程的正整数解组数，排列组合的组合数，高维空间中低一维的体积，它们都是相同的，我主要目的就是分母的值是(m-1)!,分子是1.

白新岭

从复合函数求导法则中，或隐函数求导法则中，我们也可以获得这样的结果，把一个未知数留在左侧，
其余关联变量都移到右侧，则形成，右侧未知数的个数决定维数，第一次求导，是（m-1），接着第
二次求导是（m-2)，一直这样求下去，没有变量时，变成常数1（规定0！=1）
从微积分角度我说的不好。对于它们的围道积分不理解。