BD,CE 是 ΔABC 的角平分线，DE 与 ΔABC 外接圆交于 F ，证明 1／FB=1／FC+1／FA

天山草

下图中，BD、CE 是角平分线。证明 $\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$。

天山草

遇到硬茬了，这个题目看似简单，但是用复平面解析法难做。一直没有找到解决办法。

用数字验证，这个命题是正确的，没有问题。

uk702

搞不定，打住先。另找到一道趣题，说不定有所启发。

天山草

这道题的拦路虎是在 F 点的坐标表达式是个带有根号的无理式。因而后面的判断 mathematica 无能为力了。

解决的出路一个是另行构图，使得所有点的坐标都能有理表达。第二个出路是把上述 F 点的坐标有理化。

王守恩

$记BC=\sin(2A),CA=\sin(2B),AB=\sin(2C),∠BAF=∠BCF=x$

$已知:\frac{AB*b}{BC*c+CA*a}=\frac{\sin(2C)*\sin(2A+x)}{\sin(2A)*\sin(2C-x)+\sin(2B)*\sin(x)}=1$

$求:k=\frac{1/a}{1/b+1/c}=\frac{1/\sin(x)}{1/\sin(2A+x)+1/\sin(2C-x)}=1$

1. Table[NSolve[{(Sin[2 C \[Pi]/180] Sin[(2 A + x) \[Pi]/180])/
   
2. (Sin[2 A \[Pi]/180]Sin[(2 C - x) \[Pi]/180] + Sin[2 B \[Pi]/180]
   
3. Sin[x \[Pi]/180])==(1/Sin[x \[Pi]/180])/(1/Sin[(2 A + x) \[Pi]/180]
   
4. + 1/Sin[(2 C - x) \[Pi]/180])==k, 90 > x > 0}, {x, k}], {A, 26, 30},
   
5. {B, A, (90 - A)/2}, {C, 90 - A - B, 90 - A - B}]
   
6. {{{{{x -> 25.5258, k -> 1.}}},    {{{x -> 25.143, k -> 1.}}},
   
7.   {{{x -> 24.7447, k -> 1.}}},   {{{x -> 24.3311, k -> 1.}}},
   
8.   {{{x -> 23.9021, k -> 1.}}},  {{{x -> 23.4578,  k -> 1.}}},
   
9.   {{{x -> 22.9983, k -> 1.}}}},{{{{x -> 24.8161,  k -> 1.}}},
   
10.   {{{x -> 24.4019, k -> 1.}}},   {{{x -> 23.9722, k -> 1.}}},
    
11.   {{{x -> 23.5271, k -> 1.}}},  {{{x -> 23.0665,  k -> 1.}}}},
    
12. {{{{x -> 24.0303, k -> 1.}}},  {{{x -> 23.5848,  k -> 1.}}},
    
13.   {{{x -> 23.1238, k -> 1.}}},  {{{x -> 22.6473, k -> 1.}}}},
    
14. {{{{x -> 23.1706, k -> 1.}}},  {{{x -> 22.6939,  k -> 1.}}}},
    
15. {{{{x -> 22.2388, k -> 1.}}}}}

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天山草

发现此题其实是有两个线段长度的等式。令三角形ABC 的三边长为 $a，b，c$，以及 $FB=x，FA=y，FC=z$
和$F1C=x1，F1A=y1，F1B=z1$，则有 $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$，
以及 $\frac{1}{x1}=\frac{1}{y1}+\frac{1}{z1}$。
能否把$x，y，z$和$x1，y1，z1$ 的长度用  $a，b，c$ 来表示？

denglongshan

说明：U^2V在BC弧之间，但是程序一直运行中，求不出F点

1. Clear["Global`*"]
   
2. 
   
3. 
   
4. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = a = 1;
   
5. \!\(\*OverscriptBox["u", "_"]\) = 1/u;
   
6. \!\(\*OverscriptBox["v", "_"]\) = 1/v; b = 1/u^2;
   
7. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = 1/b; c = 1/(u^2 v^2);
   
8. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) = 1/c; t = -1/(u v);
   
9. \!\(\*OverscriptBox["t", "_"]\) = 1/t;
   
10. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((
    
11. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d - c
    
12. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (a - b) - (
    
13. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b - a
    
14. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d))/((a - b) (
    
15. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
16. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
17. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
18. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)
    
19. 
    
20. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c
    
21. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
    
22. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d) (
    
23. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
24. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - ( a
    
25. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
    
26. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b) (
    
27. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
28. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)))/((a - b) (
    
29. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
30. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
31. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
32. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d)));
    
33. 
    
34. e = FourPoint[a, b, c, u];
    
35. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) =
    
36. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a, b, c, u]; d =
    
37. FourPoint[a, c, b, t];
    
38. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) =
    
39. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a, c, b, t];
    
40. KAB[a_, b_] := (a - b)/(
    
41. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
42. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\));
    
43. \!\(\*OverscriptBox["KAB", "_"]\)[a_, b_] := 1/KAB[a, b];(*复斜率定义*)
    
44. Simplify[{e, (b - e)/(a - e), (b - c)/(a - c), , d, (b - c)/(b - a), (
    
45.   c - d)/(a - d)}]
    
46. Simplify[KAB[d, e]]
    
47. Solve[{f
    
48. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) == 1, KAB[d, e] == KAB[f, e]}, {f,
    
49. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\)}]
    
50. 
    

复制代码

creasson

对于这种对点的位置有要求的命题， 纯粹地用单位复数表示是困难的，并不能准确区分应取哪个根.  而当直接求解出现根式而不能有效地有理化表示时, 后续计算也将是困难的, 这时应该考虑多项式方程.

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*令 s=tanA/2, t = tanB/2*)
   
3. points = {B->0, C->1, A->((s+t)(1-s t))/(s (1-I t)^2), pI->(1-s t)/(1-I t), D->\[Lambda]*((s+t)(1-s t))/(s (1-I t)^2)+(1-\[Lambda]), E->\[Mu]*((s+t)(1-s t))/(s (1-I t)^2), F->(1+I*(1-s^2)/(2 s))/(1 - I u)};(*pI是内心的表示*)
   
4. (* 取值范围限定 *)
   
5. cond = s > 0 && t > 0 && 1 - s t > 0;
   
6. (*根据B、D、pI和C、E、pI共线解出\[Lambda],\[Mu]*)
   
7. eqs = (Factor[ComplexExpand[Im[#]]]//Numerator)&/@({(pI-B)/(pI-D), (pI-C)/(pI-E)}/.points);
   
8. sols = Solve[eqs == 0, {\[Lambda], \[Mu]}]//Factor//Flatten;
   
9. points = Factor[points/.sols]//Flatten;
   
10. (*根据D, E, F共线得到u的方程*)
    
11. uEQ = (Factor[ComplexExpand[Im[#]]]//Numerator)&@((D-F)/(D-E)/.points);
    
12. Print["参数 u的方程: ", uEQ];
    
13. (*根据F的位置得到参数u的取值范围*)
    
14. cond = Reduce[ Factor[ComplexExpand[Im[(F-B)/(A-B)/.points]]] > 0 && cond, {s, t, u}];
    
15. (*计算 FA, FB, FC的长度*)
    
16. dists = FullSimplify[ComplexExpand[Abs[#]], Assumptions->cond]&/@({F-A, F-B, F-C}/.points);
    
17. target =( 1/dists[[2]] -1/dists[[1]]-1/dists[[3]])//Factor;
    
18. Print["待证等式: ", target];
    
19. Print["二者有公因式, 即证."]

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王守恩

类似的题目(数学研发论坛): 已知一个三角形的2条角平分线相等，求证是等腰三角形。

$△ABC,AC=\sin(2A),AB=\sin(2B),BC=\sin(2A+2B)$

$在△BCF中,\frac{\sin(2A+2B)}{\sin(2A+B)}=\frac{CF}{\sin(2A)}\Rightarrow CF=\frac{\sin(2A)\sin(2A+2B)}{\sin(2A+B)}$

$在△BCE中,\frac{\sin(2A+2B)}{\sin(2B+A)}=\frac{BE}{\sin(2B)}\Rightarrow BE=\frac{\sin(2B)\sin(2A+2B)}{\sin(2B+A)}$

$∵CF=BE\ \ \ ∴\frac{\sin(2A)\sin(2A+2B)}{\sin(2A+B)}=\frac{\sin(2B)\sin(2A+2B)}{\sin(2B+A)}$

ccmmjj

王守恩 发表于 2023-4-10 03:03
类似的题目(数学研发论坛): 已知一个三角形的2条角平分线相等，求证是等腰三角形。

\(△ABC,AC=\sin(2A) ...

这个题目完全不能跟主题比。证等腰三角的题目早就被人证烂了，主帖的题目非常不一般，怕是要做出个花样来。