请判断 cos(sinx) 是否为周期函数？若是周期函数，它的周期是什么？

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請問數學

Future_maths

\(\cos\left( \sin\left( \pi+x\right)\right)=\cos\left( -\sin x\right)=\cos\left( \sin x\right)\)

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所以周期为\(\pi\)

波斯猫猫

题：请判断 cossinx是否为周期函数？若是周期函数，它的周期是什么？

思路：记f(x)= cossinx，显然f(x+π)= cossin(x+π)=cos(-sinx)= cossinx=f(x)，

故π是f(x)的一个周期。

假设t (0＜t＜π)也是f(x)的一个周期，则cossin(x+t)=cossinx，2cossin(x+t)-2cossinx=0，

或-sin[sin(x+t)/2+sinx/2].sin[sin(x+t)/2-sinx/2]=0。

故，sin(x+t)±sinx=2kπ (k∈Z)，且对任意x∈R皆成立。

取x=0，有sint=2kπ，故-1≤2kπ≤1，即k=0，亦即sint=0。而此在(0，π)上无解，即不存在。

故，T=π是f(x)的最小正周期。即f(x)的周期T=π。