【答】证明 x+y+2=0 是笛卡尔叶形线 x^3+y^3-6xy=0 的渐近线

dodonaomikiki · 发表于 2023-4-12 11:44

本帖最后由 dodonaomikiki 于 2023-5-10 17:15 编辑

笛卡尔叶形线，为何她的渐近线是x+y+2=0?

具体看图

dodonaomikiki · 发表于 2023-4-12 11:46

其顶点是（3,3）
此处的切线为： x+y-6=0【请见主楼示意图】

正好，渐近线与这条切线互相平行

Future_maths · 发表于 2023-4-18 17:47

luyuanhong · 发表于 2023-4-18 18:07

楼上 Future_maths 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫 · 发表于 2023-4-18 21:04

本帖最后由波斯猫猫于 2023-4-18 21:22 编辑

证明 x+y+2=0 是笛卡尔叶形线 x^3+y^3-6xy=0 的渐近线。

思路：把x与y互换，显然方程 x^3+y^3-6xy=0不变，故曲线x^3+y^3-6xy=0

关于直线y=x对称。从而可设渐近线y=-x+a，把此代入曲线x^3+y^3-6xy=0整理

得，3(a+2)-3a(a+2)/x+a^3/x^2=0。当x趋于±∞时，有-3a(a+2)/x+a^3/x^2=0，

即3(a+2)=0，或a=-2。故其渐近线为 x+y+2=0 。

luyuanhong · 发表于 2023-4-18 22:59

楼上波斯猫猫的解答已收藏。

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【答】证明 x+y+2=0 是笛卡尔叶形线 x^3+y^3-6xy=0 的渐近线

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