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奇怪的三角等式:tan10° = tan20° tan30° tan40°

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发表于 2023-4-12 19:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
有些三角等式有些奇怪的数字特征,比如说:sin20°+sin40°=sin80°及我上次发的“余弦666”,多是关于正弦和余弦的。这两天又看到一个关于正切的等式,

tan10°=tan20°tan30°tan40°


原证明很复杂,让人看了头昏。特挂在这里请教网友,有没有较好的推算?
发表于 2023-4-13 11:42 | 显示全部楼层
证明tan10°=tan20°tan30°tan40°
即证sin10°sin50°sin60°sin70°=sin20°sin30°sin40°sin80°
用和差化积公式即可
8×左边=4(cos50°-cos70°)sin50°sin70°=2sin100°sin70°-2sin50°sin140°
=cos30°-cos170°-cos90°+cos190°=cos30°
8×右边=4sin20°sin40°sin80°=2(cos20°-cos60°)sin80°
=2cos20°cos10°-cos10°=cos30°+cos10°-cos10°=cos30°
所以,左边=右边,原式成立。
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发表于 2023-4-13 11:56 | 显示全部楼层
楼上 时空伴随者 的解答已收藏。
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发表于 2023-4-13 17:39 | 显示全部楼层
分析法:欲证tan10°=tan20°tan30°tan40°,只需证√3tan10°=tan20°tan40°,

√3tan10°=tan(30°-10°)tan(30°+10°),即只需证√3(tan10°)^3-3(tan10°)^2-3√3tan10°+1=0。

而由1/√3=tan30°=[3tan10°-(tan10°)^3]/[1-(tan10°)^2],

有√3(tan10°)^3-3(tan10°)^2-3√3tan10°+1=0成立。故原等式成立。
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 楼主| 发表于 2023-4-13 19:37 | 显示全部楼层
谢谢两位解答者。
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发表于 2023-7-6 12:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 ccmmjj126 于 2023-7-6 04:30 编辑

关于这道题其实有另一种简答。有一个教科书不教的正切三倍角公式:tan3θ=tanθtan(60°-θ)tan(60°+θ)
把它应用到30°上,得 tan30°=tan10°tan50°tan70°,代入原式右边两边约去tan10°,
即得 1=tan20°tan40°tan50°tan70°,而tan20°tan70°=1, tan40°tan50°=1是显然的。故原式成立。
可是这道新题tan6°=tan12°tan24°tan48°用不上这个公式。
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发表于 2023-7-6 13:58 | 显示全部楼层


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发表于 2023-7-6 14:00 | 显示全部楼层





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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
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