再谈待着色顶点移动着色法

雷明85639720

再谈待着色顶点移动着色法
雷  明
（二〇二三年四月二日）

    1，待着色顶点V0的度（即围栏的顶点数）d≥0，围栏顶点所占用的颜色数c≤4。
    2，当d＜4或c＜4时的V0就是终局顶点。当d≥4且c＝4时的V0都是困局顶点。
    3，终局顶点Ⅴ0可以直接着上四种颜色之一，而困局顶点Ⅴ0只是暂时不能直接着上四种颜色之一的。需要对困局顶点进行移动，使Ⅴ0转化成终局顶点再直接着上四种颜色之一。
    4，把围栏顶点使用次数最少的一种颜色给V0着上，在围栏中就产生了一个或多个新的待着色顶点V0。继续以上的操作，V0就可以移动到图中的任何一个顶点之上。
    5，除了V0和围栏顶点外，图中其他的任何顶点的围栏顶点所占用的颜数c都是小于4的。这一点是与困局顶点V0不同的。
    6，当需要把V0移到d＜4的顶点上去时，由于这种顶点的各围栏顶点的颜色均只用了一次，均为单色，所处地位均相同，所以V0是可以从该顶点的任何一个围栏顶点移入该顶点的，V0也是可以着上四种颜色之一的。
    7，当需要把V0移动到d≥4并c＝3＜4的顶点上去时，由于这种顶点的围栏顶点较多，所处的地位也各不相同，V0的移入是要有条件的。只要该顶点的围栏中有一个顶点是单色的，Ⅴ0就可从这个单色顶点移入，Ⅴ0也可以直接着上四种颜色之一。否则Ⅴ0是不能移入到该顶点的，但可以想办法把V0移向别的顶点，这样的顶点也一定是可以找到的，因为任何平靣图中至少都存在着一个顶点的度是小于等于5的，Ⅴ0至少可以移动到这些顶点之一之上。
    8，5度顶点的围栏顶点一定是有一个单色顶点的，所以V0是可以移动到5度顶点上去的，Ⅴ0也是可以直接着上四种颜色之一的。
    9，4度顶点的围栏顶点是可以做到有两个单色顶点的，V0至少是可以移到4度顶点上去的。另外4度顶点是一个偶度顶点，而所有的d≥4的偶度顶点的围栏顶点都是可以只占用两种颜色的。这种情况下，各围栏顶点所处的地位也都是相同的，Ⅴ0也是可以从任何一个围栏顶点移入4度顶点的。
10，现在，所有的困局顶点Ⅴ0已都可以移动到d≥0的任何顶点上去且可直接着上四种颜色之一了，也就证明了四色猜测是正确的。d＝0的顶点就是完全图K1，没有围栏顶点，但也是一个平面图，一种颜色就够用了。

雷  明
二○二三年四月二日于长安

雷明85639720

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