关于数轴上的点与数集合

雷明85639720

关于数轴上的点与数集合
雷  明
二○二三年三月十八日

1，把两个量a和b相互比较，若a／b或b／a可得到无限循环小数或整数时，这两个量就是可公度的量。这个无限循环小数和整数就是有理数。但他们都只是数轴上的个别的点，且都是不连续的。这样的点在数轴上也是有无穷多个的。先不说无限循环的小数（这样的小数是可以表示成a／b或b／a的）和整数（整数也可以看成是循环节为＂0＂的无限循环小数），就光是整数里的自然数就有无穷多个。所以说有理数是有无穷多的，有理数集合是一个可数的无穷集合（简称可数集合。因为它与可数的自然数集合不但有一一对应的关系，且是等势的集合）而不是连续集合。任何一个有理数都是可以用几何作图的方法在数轴上找到与其相对应点的。例如循环节为＂3＂的无限循环小数＂1／3＂（三分之一），就可以借用平行线等分线段的原理，把0到1的线段分成等长的三等分，这样就找到了＂三分之一＂所对应的点和线段。不仅如此，还得到了＂三分之二＂这个以＂6＂为循环节的无限循环小数所对应的点和线段。
2，若a／b或b／a得到的是无限不循环小数时，则a与b就是两个不可公度的量。这个无限不循环小数就是无理数。例如正方形的对角线c与其边长a的比c／a＝√2，又例如园的周长c与其直径d的比c／d＝丌（派）等，而√2和丌都是无限不循环小数，所以也都是无理数。无理数在数轴上也是有其相对应的点的，只是没有办法用几何作图的方法找出其具体对应的位置。因为该数是无限不循环的小数，其具体位置永远也是找不到的，也不可能找到。
3，所的有理数都对应着数轴上的一个单点，这些点不连续且有无穷多个，所以有理数所对应的点也就把数轴分成了无数个连续的闭区间（这就是有理数在数轴上对点间的＂空隙＂）。每个闭区间间也都有无穷多个点，也即有无穷多个无理数。无穷多个连续的无理数集合的并集则是不连续的无穷集合。这个集合与不连续的（可数的）有理数集合的并集又是一个连续的集合。这个集合对应的是数轴上的所有点。有理数和无理数统称为实数，所以实数集合是一个连数续的不可数无穷集合。该实数合中的数与数轴上的点也有一一对应的关系。
4，这里说的是数轴，就应该包括有负数和原点＂0＂，这就是实（数）轴。若再加上虚（数）轴后，就是＿个复（数）平面，那么复平面上的所有点就都对应着一个复数a十bi。所有复数构成的复数集合也是一个不可数的连续的无穷集合。

雷  明
二○二三年三月十八日于长安